华中科技大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
1．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+x^{2}\right)^{3}-\cos ^{2} x}{\tan x^{2}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：处理分母，使用等价无穷小替换
当 $x \to 0$ 时，$x^2 \to 0$，有 $\tan(x^2) \sim x^2$。因此分母可替换为 $x^2$，不影响极限值。
公式：\tan(x^2) \sim x^2 \quad (x \to 0)
提示：注意等价无穷小替换的条件：被替换的量在极限过程中趋于0，且作为乘除因子。
步骤 2/5
目标：展开分子中的 $(1+x^2)^3$
使用二项式展开：$(1+x^2)^3 = 1 + 3x^2 + 3x^4 + x^6$。
公式：(1+x^2)^3 = 1 + 3x^2 + 3x^4 + x^6
提示：展开时注意保留到足够高阶的项，此处需要到 $x^4$ 项，但 $x^6$ 是更高阶，可保留用于后续判断。
步骤 3/5
目标：展开 $\cos^2 x$ 到 $x^4$ 项
先展开 $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$，然后平方：
\[
\cos^2 x = \left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)\right)^2
\]
计算各项：常数项 $1$，$x^2$ 项 $2 \cdot 1 \cdot (-\frac{x^2}{2}) = -x^2$，$x^4$ 项来自 $2 \cdot 1 \cdot \frac{x^4}{24} = \frac{x^4}{12}$ 和 $(-\frac{x^2}{2})^2 = \frac{x^4}{4}$，合计 $\frac{1}{12}+\frac{1}{4}=\frac{1}{3}$。因此
\[
\cos^2 x = 1 - x^2 + \frac{1}{3}x^4 + o(x^4)
\]
公式：\cos^2 x = 1 - x^2 + \frac{1}{3}x^4 + o(x^4)
提示：平方展开时注意交叉项和平方项都要计算，并合并同阶项。
步骤 4/5
目标：计算分子相减的结果
将两个展开式相减：
\[
(1+x^2)^3 - \cos^2 x = (1 + 3x^2 + 3x^4 + x^6) - \left(1 - x^2 + \frac{1}{3}x^4 + o(x^4)\right)
\]
化简得：
\[
= (1-1) + (3x^2 + x^2) + \left(3x^4 - \frac{1}{3}x^4\right) + o(x^4) = 4x^2 + \frac{8}{3}x^4 + o(x^4)
\]
公式：(1+x^2)^3 - \cos^2 x = 4x^2 + \frac{8}{3}x^4 + o(x^4)
提示：注意 $x^6$ 项属于 $o(x^4)$，无需单独写出。
步骤 5/5
目标：代入极限并求值
原极限为：
\[
\lim_{x\to 0} \frac{4x^2 + \frac{8}{3}x^4 + o(x^4)}{x^2}
\]
化简得：
\[
\lim_{x\to 0} \left(4 + \frac{8}{3}x^2 + o(x^2)\right) = 4
\]
公式：\lim_{x\to 0} \frac{4x^2 + \frac{8}{3}x^4 + o(x^4)}{x^2} = 4
提示：分子分母同除以 $x^2$ 后，高阶项趋于0，注意 $o(x^4)/x^2 = o(x^2) \to 0$。
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