华中科技大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
2．讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{n}} \frac{\sin x}{1+x^{2024}} \mathrm{~d} x$ 的敛散性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析被积函数在积分区间上的性质
考虑积分区间 $[0, \frac{\pi}{n}]$，当 $n$ 较大时，上限很小。在 $x$ 接近 $0$ 时，有 $\sin x \sim x$，且分母 $1+x^{2024} \approx 1$，因此被积函数近似于 $x$。
公式：\sin x \sim x \quad (x \to 0)
提示：注意 $x^{2024}$ 在 $x$ 很小时远小于 $1$，可忽略。
步骤 2/5
目标：给出通项的上界估计
在 $[0, \frac{\pi}{n}]$ 上，有 $0 \le \sin x \le x$，且 $1 \le 1+x^{2024} \le 1+\left(\frac{\pi}{n}\right)^{2024}$，因此 $\frac{\sin x}{1+x^{2024}} \le x$。积分得：
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{n}} \frac{\sin x}{1+x^{2024}} \, dx \le \int_{0}^{\frac{\pi}{n}} x \, dx = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{n}\right)^2.$$
公式：\int_{0}^{\frac{\pi}{n}} \frac{\sin x}{1+x^{2024}} \, dx \le \frac{\pi^2}{2n^2}
提示：上界为 $O(1/n^2)$，提示级数可能收敛。
步骤 3/5
目标：给出通项的下界估计
当 $n$ 足够大时，$\frac{\pi}{n} \le \frac{\pi}{2}$，此时有 $\sin x \ge \frac{2}{\pi}x$（在 $[0,\pi/2]$ 上成立）。同时分母 $1+x^{2024} \le 1+\left(\frac{\pi}{n}\right)^{2024}$，因此
$$\frac{\sin x}{1+x^{2024}} \ge \frac{\frac{2}{\pi}x}{1+\left(\frac{\pi}{n}\right)^{2024}}.$$
积分得：
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{n}} \frac{\sin x}{1+x^{2024}} \, dx \ge \frac{2/\pi}{1+\left(\frac{\pi}{n}\right)^{2024}} \cdot \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{n}\right)^2 = \frac{\pi}{n^2} \cdot \frac{1}{1+\left(\frac{\pi}{n}\right)^{2024}}.$$
公式：\int_{0}^{\frac{\pi}{n}} \frac{\sin x}{1+x^{2024}} \, dx \ge \frac{\pi}{n^2} \cdot \frac{1}{1+(\pi/n)^{2024}}
提示：当 $n \to \infty$ 时，$(\pi/n)^{2024} \to 0$，下界约为 $\pi/n^2$。
步骤 4/5
目标：利用比较判别法判断级数敛散性
由上下界可知，通项 $a_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{n}} \frac{\sin x}{1+x^{2024}} \, dx$ 满足：存在常数 $C_1, C_2 > 0$ 使得 $\frac{C_1}{n^2} \le a_n \le \frac{C_2}{n^2}$ 对充分大的 $n$ 成立。而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 收敛（$p=2>1$ 的 $p$-级数），故原级数收敛。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \text{ 收敛}
提示：比较判别法要求通项非负，这里显然成立。
步骤 5/5
目标：总结结论
由于通项与 $1/n^2$ 同阶，且 $\sum 1/n^2$ 收敛，因此原级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{n}} \frac{\sin x}{1+x^{2024}} \, dx$ 收敛。
提示：注意积分区间随 $n$ 变化，不能直接交换求和与积分次序。
步骤 6/6
目标：得出结论
综合以上，原级数 \( \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{\frac{\pi}{n}} \frac{\sin x}{1+x^{2024}} \, dx \) 收敛。
提示：最终答案需明确写为“收敛”。
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