华中科技大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
3．设 $\beta>0, \alpha>1$ 为常数，计算无穷积分 $\displaystyle I=\int_{0}^{+\infty} \frac{\mathrm{d} x}{1+\beta x^{\alpha}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：判断积分收敛性
由于 $\alpha>1$，当 $x\to +\infty$ 时，被积函数 $\frac{1}{1+\beta x^\alpha} \sim \frac{1}{\beta x^\alpha}$，而 $\alpha>1$ 保证了无穷远处的积分收敛。在 $x\to 0^+$ 时，函数趋于 $1$，没有奇点问题。因此积分是收敛的。
公式：\frac{1}{1+\beta x^\alpha} \sim \frac{1}{\beta x^\alpha} \quad (x\to +\infty)
提示：注意 $\alpha>1$ 是无穷远处收敛的关键条件，$\beta>0$ 不影响收敛性。
步骤 2/5
目标：变量代换简化积分
令 $t = \beta x^\alpha$，则 $x = \left(\frac{t}{\beta}\right)^{1/\alpha}$，$\mathrm{d}x = \frac{1}{\alpha \beta^{1/\alpha}} t^{1/\alpha - 1} \mathrm{d}t$。当 $x=0$ 时 $t=0$，当 $x\to +\infty$ 时 $t\to +\infty$。代入得：
$$ I = \int_0^{+\infty} \frac{1}{1+t} \cdot \frac{1}{\alpha \beta^{1/\alpha}} t^{1/\alpha - 1} \, \mathrm{d}t. $$
公式：\mathrm{d}x = \frac{1}{\alpha \beta^{1/\alpha}} t^{1/\alpha - 1} \mathrm{d}t
提示：代换时注意微分元的计算，不要遗漏系数 $\frac{1}{\alpha}$ 和 $\beta$ 的幂次。
步骤 3/5
目标：化为 Beta 函数形式
利用 Beta 函数公式 $B(p,q) = \int_0^\infty \frac{t^{p-1}}{(1+t)^{p+q}} \, \mathrm{d}t = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}$。此处被积函数为 $\frac{t^{1/\alpha - 1}}{1+t}$，对应分母指数为 $1$，故令 $p = \frac{1}{\alpha}$，$q = 1 - \frac{1}{\alpha}$，则 $p+q=1$，于是
$$ \int_0^\infty \frac{t^{1/\alpha - 1}}{1+t} \, \mathrm{d}t = B\left(\frac{1}{\alpha}, 1-\frac{1}{\alpha}\right) = \Gamma\left(\frac{1}{\alpha}\right)\Gamma\left(1-\frac{1}{\alpha}\right). $$
公式：B(p,q) = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}
提示：注意 $p+q=1$ 时 $\Gamma(1)=1$，简化了结果。
步骤 4/5
目标：应用余元公式
余元公式：$\Gamma(p)\Gamma(1-p) = \frac{\pi}{\sin(\pi p)}$，其中 $p = \frac{1}{\alpha}$。因此
$$ \int_0^\infty \frac{t^{1/\alpha - 1}}{1+t} \, \mathrm{d}t = \frac{\pi}{\sin(\pi/\alpha)}. $$
公式：\Gamma(p)\Gamma(1-p) = \frac{\pi}{\sin(\pi p)}
提示：余元公式要求 $p$ 不是整数，此处 $\alpha>1$ 保证 $0<1/\alpha<1$，满足条件。
步骤 5/5
目标：代回原积分得到最终结果
将上一步结果代入 $I$ 的表达式：
$$ I = \frac{1}{\alpha \beta^{1/\alpha}} \cdot \frac{\pi}{\sin(\pi/\alpha)} = \frac{\pi}{\alpha \beta^{1/\alpha} \sin(\pi/\alpha)}. $$
公式：I = \frac{\pi}{\alpha \beta^{1/\alpha} \sin(\pi/\alpha)}
提示：最终结果中 $\beta^{1/\alpha}$ 不要写成 $\beta^{1/\alpha}$ 的倒数形式，注意系数完整。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
将结果代回 $I$ 的表达式：$I = \frac{1}{\alpha \beta^{1/\alpha}} \cdot \frac{\pi}{\sin(\pi/\alpha)} = \frac{\pi}{\alpha \beta^{1/\alpha} \sin(\pi/\alpha)}$。
公式：$I = \frac{\pi}{\alpha \beta^{1/\alpha} \sin(\pi/\alpha)}$
提示：最终结果中 $\beta^{1/\alpha}$ 不要写成 $\beta^{1/\alpha}$ 的倒数形式，注意指数位置。
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