华中科技大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
9．用 $\varepsilon-N$ 语言证明极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{(2 n)!}}=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确要证明的极限和ε-N定义
要证明极限 $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{(2n)!}} = 0$，即对任意给定的 $\varepsilon > 0$，需要找到正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，有 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt[n]{(2n)!}} < \varepsilon$，等价于 $\sqrt[n]{(2n)!} > \frac{1}{\varepsilon}$。
公式：$\forall \varepsilon > 0, \exists N \in \mathbb{N}, \forall n > N: \frac{1}{\sqrt[n]{(2n)!}} < \varepsilon$
提示：注意等价变形，将分式不等式转化为根式不等式，便于后续估计。
步骤 2/6
目标：对阶乘进行下界估计
考虑 $(2n)! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (2n)$，将其分为前 $n$ 项和后 $n$ 项。后 $n$ 项为 $n+1, n+2, \ldots, 2n$，每个数都大于等于 $n+1$，因此 $(2n)! \ge (n+1)(n+2)\cdots(2n) \ge (n+1)^n$。
公式：$(2n)! \ge (n+1)^n$
提示：下界估计要简洁有效，这里只取后一半的最小值即可，不必精确计算。
步骤 3/6
目标：推导根式的下界
由 $(2n)! \ge (n+1)^n$，两边开 $n$ 次方得 $\sqrt[n]{(2n)!} \ge \sqrt[n]{(n+1)^n} = n+1$。
公式：$\sqrt[n]{(2n)!} \ge n+1$
提示：开方时注意 $n$ 次方根与幂的运算规则，$\sqrt[n]{a^n} = a$ 对 $a \ge 0$ 成立。
步骤 4/6
目标：将原式与简单数列比较
由 $\sqrt[n]{(2n)!} \ge n+1$ 可得 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt[n]{(2n)!}} \le \frac{1}{n+1}$。因此只需让 $\frac{1}{n+1} < \varepsilon$ 即可保证原式小于 $\varepsilon$。
公式：$\frac{1}{\sqrt[n]{(2n)!}} \le \frac{1}{n+1}$
提示：利用不等式放缩时，注意方向：分母越大，分数越小。
步骤 5/6
目标：解不等式确定N的取值
解不等式 $\frac{1}{n+1} < \varepsilon$ 得 $n+1 > \frac{1}{\varepsilon}$，即 $n > \frac{1}{\varepsilon} - 1$。取 $N = \left\lceil \frac{1}{\varepsilon} - 1 \right\rceil$（向上取整），则当 $n > N$ 时，不等式成立。
公式：$N = \left\lceil \frac{1}{\varepsilon} - 1 \right\rceil$
提示：取整函数保证N为正整数，注意当 $\frac{1}{\varepsilon} - 1$ 为负数时，取 $N=0$ 或 $1$ 即可，但通常取 $N=1$ 也能满足。
步骤 6/6
目标：整理证明过程，完成ε-N论证
对任意 $\varepsilon > 0$，取 $N = \left\lceil \frac{1}{\varepsilon} - 1 \right\rceil$，则当 $n > N$ 时，有 $\sqrt[n]{(2n)!} \ge n+1 > \frac{1}{\varepsilon}$，从而 $\frac{1}{\sqrt[n]{(2n)!}} < \varepsilon$。由极限定义，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{(2n)!}} = 0$ 得证。
公式：$\forall \varepsilon > 0, \exists N = \left\lceil \frac{1}{\varepsilon} - 1 \right\rceil, \forall n > N: \frac{1}{\sqrt[n]{(2n)!}} < \varepsilon$
提示：最后要明确写出由定义得证，并检查每一步不等式的方向是否正确。
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