华中科技大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
10．设
$$
\begin{gathered}
x_{1}=1, x_{2}=\sqrt{\frac{1}{2}+1}, x_{3}=\sqrt{\frac{1}{3}+\sqrt{\frac{1}{2}+1}}, x_{4}=\sqrt{\frac{1}{4}+\sqrt{\frac{1}{3}+\sqrt{\frac{1}{2}+1}}} \\
\cdots, x_{n+1}=\sqrt{\frac{1}{n+1}+x_{n}}, \cdots
\end{gathered}
$$
证明数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛并求出极限值．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：观察数列的单调性和有界性
计算前几项：
$x_1 = 1$，
$x_2 = \sqrt{\frac{1}{2} + 1} = \sqrt{1.5} \approx 1.2247$，
$x_3 = \sqrt{\frac{1}{3} + x_2} \approx \sqrt{1.5580} \approx 1.2482$，
$x_4 = \sqrt{\frac{1}{4} + x_3} \approx \sqrt{1.4982} \approx 1.2240$。
可见数列并非单调，但所有项均大于等于1（因为$x_1=1$，且每次加正数再开方，结果不小于1），故有下界1。
公式：x_{n+1} = \sqrt{\frac{1}{n+1} + x_n}
提示：注意数列可能先增后减，不能直接使用单调有界定理，需另寻方法。
步骤 2/5
目标：猜测极限值
假设极限存在，设为$L$，则当$n \to \infty$时，递推式两边取极限：$L = \sqrt{0 + L} = \sqrt{L}$。解方程$L = \sqrt{L}$得$L^2 = L$，即$L(L-1)=0$，所以$L=0$或$L=1$。由于所有项均大于等于1，故极限只能为1。
公式：L = \sqrt{L} \Rightarrow L=1
提示：极限存在性尚未证明，此处仅为猜测，需后续证明收敛到1。
步骤 3/5
目标：建立递推不等式
由递推式$x_{n+1} = \sqrt{\frac{1}{n+1} + x_n}$，两边平方得$x_{n+1}^2 = \frac{1}{n+1} + x_n$。两边同时减1：$x_{n+1}^2 - 1 = x_n - 1 + \frac{1}{n+1}$。左边因式分解：$(x_{n+1} - 1)(x_{n+1} + 1) = x_n - 1 + \frac{1}{n+1}$。于是$x_{n+1} - 1 = \frac{x_n - 1}{x_{n+1} + 1} + \frac{1}{(n+1)(x_{n+1}+1)}$。由于$x_n \ge 1$，故$x_{n+1}+1 \ge 2$，取绝对值得：$|x_{n+1} - 1| \le \frac{|x_n - 1|}{2} + \frac{1}{2(n+1)}$。
公式：|x_{n+1} - 1| \le \frac{|x_n - 1|}{2} + \frac{1}{2(n+1)}
提示：分母放缩时注意$x_{n+1} \ge 1$，确保不等式方向正确。
步骤 4/5
目标：解递推不等式证明收敛到1
设$a_n = |x_n - 1|$，则$a_1 = 0$，且$a_{n+1} \le \frac{a_n}{2} + \frac{1}{2(n+1)}$。反复迭代：
$a_n \le \frac{a_1}{2^{n-1}} + \frac{1}{2} \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k \cdot 2^{n-k}}$。
由于$a_1=0$，第一项为0。对第二项，令$j = n-k$，则和为$\sum_{j=0}^{n-2} \frac{1}{(n-j) \cdot 2^{j}}$。当$n \to \infty$时，该和趋于0（例如可用比较判别法，或证明$a_n \le \frac{C}{n}$，进而$a_n \to 0$）。因此$\lim_{n \to \infty} a_n = 0$，即$\lim_{n \to \infty} x_n = 1$。
公式：a_n \le \frac{1}{2} \sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k \cdot 2^{n-k}} \to 0
提示：迭代时注意求和指标变换，也可用数学归纳法直接证明$a_n \le \frac{1}{n}$。
步骤 5/5
目标：结论
数列$\{x_n\}$收敛，且极限为1。
公式：\lim_{n \to \infty} x_n = 1
提示：最终答案需明确写出极限值。
步骤 6/6
目标：验证极限合理性
由递推式可知x_n ≥ 1（归纳易证），且极限L=1满足单调递增趋于1，与x_1=1一致。实际上数列从1开始递增，但极限为1，说明递增幅度越来越小，最终收敛于1。
公式：L^2 = L \Rightarrow L=1
提示：注意：数列并非单调递增，实际从x_2开始大于1，之后递减趋于1。需重新证明单调性。
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