华中科技大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
11．设函数 $f(x) \in C(0,+\infty)$ ，满足 $x=f(x) 5^{f(x)}$ ．证明：
（1）$f(x)$ 单调递增．
（2） $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ．
（3） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{\ln x}=\frac{1}{\ln 5}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明 f(x) 单调递增
考虑函数 $g(t) = t \cdot 5^t$，$t \in \mathbb{R}$。求导得 $g'(t) = 5^t + t \cdot 5^t \ln 5 = 5^t (1 + t \ln 5)$。当 $t > -\frac{1}{\ln 5}$ 时 $g'(t) > 0$，$g$ 严格递增。由于 $x = f(x) 5^{f(x)} > 0$，且 $g(t)$ 在 $t = -\frac{1}{\ln 5}$ 处取得最小值（负值），故方程 $t 5^t = x$ 的解 $t = f(x)$ 必落在 $t > -\frac{1}{\ln 5}$ 的区间内。因此对任意 $x_1 < x_2$，由 $g$ 严格递增得 $f(x_1) < f(x_2)$，即 $f(x)$ 严格单调递增。
公式：g(t)=t\cdot 5^t,\quad g'(t)=5^t(1+t\ln 5)
提示：注意 $g(t)$ 并非在整个实数上单调，但 $x>0$ 对应的 $t$ 落在单调递增区间内。
步骤 2/4
目标：证明极限 $\lim_{x\to +\infty} f(x) = +\infty$
反证法：假设 $f(x)$ 有上界，设其上确界为 $M < +\infty$。则由 $x = f(x) 5^{f(x)} \le M 5^M$ 可知 $x$ 有界，与 $x \to +\infty$ 矛盾。因此 $f(x) \to +\infty$ 当 $x \to +\infty$。
公式：x = f(x) 5^{f(x)} \le M 5^M
提示：反证法关键：若 $f(x)$ 有界，则 $x$ 被常数控制，无法趋于无穷。
步骤 3/4
目标：推导 $\ln x$ 与 $f(x)$ 的关系式
对已知等式 $x = f(x) 5^{f(x)}$ 两边取自然对数，得 $\ln x = \ln f(x) + f(x) \ln 5$。
公式：\ln x = \ln f(x) + f(x) \ln 5
提示：取对数时注意 $f(x)>0$ 当 $x$ 充分大时成立（由单调性和极限保证）。
步骤 4/4
目标：变形并求极限 $\lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{\ln x}$
由 $\ln x = \ln f(x) + f(x) \ln 5$ 得 $\frac{f(x)}{\ln x} = \frac{f(x)}{\ln f(x) + f(x) \ln 5} = \frac{1}{\frac{\ln f(x)}{f(x)} + \ln 5}$。当 $x \to +\infty$ 时，由（2）知 $f(x) \to +\infty$，故 $\lim_{x\to +\infty} \frac{\ln f(x)}{f(x)} = 0$。因此 $\lim_{x\to +\infty} \frac{f(x)}{\ln x} = \frac{1}{0 + \ln 5} = \frac{1}{\ln 5}$。
公式：\frac{f(x)}{\ln x} = \frac{1}{\frac{\ln f(x)}{f(x)} + \ln 5},\quad \lim_{t\to +\infty}\frac{\ln t}{t}=0
提示：注意极限 $\lim_{t\to +\infty} \frac{\ln t}{t} = 0$ 是常用结论，需熟练掌握。
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