华中科技大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
12．对常数 $a>0$ ，记平面区域 $D: x^{2}+y^{2} \leq a^{2}$ 的边界为 $\partial D$ ．设二元函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上有连续偏导数，且 $f(x, y)=0,(x, y) \in \partial D$ ．证明：
$$
\left|\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y\right| \leq \frac{\pi a^{2}}{3} \max _{(x, y) \in D} \sqrt{\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^{2}+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^{2}}
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将函数f用径向积分表示，利用边界条件f=0
对于任意固定角度θ，考虑从圆心到边界的射线。设r∈[0,a]，由于在边界上f=0，沿径向从r到a积分方向导数：
\[ f(r\cos\theta, r\sin\theta) = f(a\cos\theta, a\sin\theta) - \int_r^a \frac{\partial}{\partial \rho} f(\rho\cos\theta, \rho\sin\theta) \, d\rho = -\int_r^a \left( f_x \cos\theta + f_y \sin\theta \right) d\rho \]
公式：\[ f(r\cos\theta, r\sin\theta) = -\int_r^a \left( f_x \cos\theta + f_y \sin\theta \right) d\rho \]
提示：注意积分方向是从r到a，因为边界值为0，所以用负号表示从边界向内积分。
步骤 2/4
目标：利用柯西-施瓦茨不等式估计被积函数绝对值
由柯西-施瓦茨不等式：
\[ |f_x \cos\theta + f_y \sin\theta| \le \sqrt{f_x^2+f_y^2} \cdot \sqrt{\cos^2\theta+\sin^2\theta} = \sqrt{f_x^2+f_y^2} \]
记M为梯度模的最大值：
\[ M = \max_{(x,y)\in D} \sqrt{f_x^2+f_y^2} \]
则对任意固定的θ和r，有：
\[ |f(r\cos\theta, r\sin\theta)| \le \int_r^a M \, d\rho = M(a-r) \]
公式：\[ |f(r\cos\theta, r\sin\theta)| \le M(a-r) \]
提示：这里M是常数，与r和θ无关，注意积分上下限。
步骤 3/4
目标：在极坐标下对二重积分进行估计
将二重积分转化为极坐标形式：
\[ \iint_D |f(x,y)| \, dx\,dy = \int_0^{2\pi} \int_0^a |f(r\cos\theta, r\sin\theta)| \, r\, dr\, d\theta \]
代入估计式：
\[ \le \int_0^{2\pi} \int_0^a M (a-r) r \, dr\, d\theta \]
公式：\[ \iint_D |f| \le \int_0^{2\pi} \int_0^a M (a-r) r \, dr\, d\theta \]
提示：极坐标变换中面积元为r dr dθ，不要遗漏r因子。
步骤 4/4
目标：计算内层积分并得到最终不等式
先计算内层关于r的积分：
\[ \int_0^a (a-r)r \, dr = \int_0^a (ar - r^2) \, dr = \frac{a^3}{2} - \frac{a^3}{3} = \frac{a^3}{6} \]
再乘以θ的积分：
\[ \int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi \]
因此：
\[ \iint_D |f| \le 2\pi \cdot M \cdot \frac{a^3}{6} = \frac{\pi a^3}{3} M \]
最后，由绝对值的性质：
\[ \left|\iint_D f\right| \le \iint_D |f| \le \frac{\pi a^3}{3} M \]
而M正是题目中梯度的最大值，故原不等式得证。
公式：\[ \left|\iint_D f\right| \le \frac{\pi a^3}{3} \max_{(x,y)\in D} \sqrt{f_x^2+f_y^2} \]
提示：注意最终结果中a的指数是3，与题目中πa²/3不同？检查：题目中为πa²/3，但推导得到πa³/3，需确认是否题目有误？实际上题目中应为πa³/3，但原题写为πa²/3，可能是笔误。按正确推导，应为a³。
步骤 5/6
目标：计算积分并发现量纲问题
于是
$$\left| \iint_D f\,dx\,dy \right| \le \int_0^{2\pi} \int_0^a M (a - r)\, r\, dr\, d\theta.$$
先计算内层积分：
$$\int_0^a (a - r) r\, dr = \int_0^a (a r - r^2)\, dr = \left[ \frac{a r^2}{2} - \frac{r^3}{3} \right]_0^a = \frac{a^3}{2} - \frac{a^3}{3} = \frac{a^3}{6}.$$
再乘上 $\theta$ 积分 $2\pi$ 和 $M$：
$$\left| \iint_D f\,dx\,dy \right| \le M \cdot 2\pi \cdot \frac{a^3}{6} = \frac{\pi a^3}{3} M.$$
但题目右边是 $\frac{\pi a^2}{3} M$，这里得到 $\frac{\pi a^3}{3} M$，多了一个因子 $a$。
公式：$$\left| \iint_D f\,dx\,dy \right| \le \frac{\pi a^3}{3} M$$
提示：注意积分结果中出现 $a^3$，而题目是 $a^2$，需检查是否题目有笔误。
步骤 6/6
目标：验证量纲与修正结论
考虑一个特例：取 $f(x,y)=a - \sqrt{x^2+y^2}$，则 $|\nabla f|=1$，左边积分值为
$$\int_0^{2\pi}\int_0^a (a-r) r\, dr\, d\theta = \frac{\pi a^3}{3}.$$
若按题目右边 $\frac{\pi a^2}{3} \cdot 1$，当 $a>1$ 时不等式不成立。因此题目本意应为 $\frac{\pi a^3}{3}$，即
$$\left|\iint_D f\,dx\,dy\right| \le \frac{\pi a^3}{3} \max_{(x,y)\in D} \sqrt{ \left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2 }.$$
公式：$$\left|\iint_D f\,dx\,dy\right| \le \frac{\pi a^3}{3} \max_{(x,y)\in D} |\nabla f|$$
提示：通过特例验证可发现原题右侧可能为 $a^3$ 之误。
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