华中科技大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
三．证明题．前两题各 10 分，后两题各 15 分．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确一致连续的定义
函数 \( f \) 在区间 \( I \) 上一致连续，是指：
\[ \forall \varepsilon > 0, \ \exists \delta > 0, \ \forall x_1, x_2 \in I, \ |x_1 - x_2| < \delta \Rightarrow |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon. \]
公式：\forall \varepsilon > 0, \ \exists \delta > 0, \ \forall x_1, x_2 \in I, \ |x_1 - x_2| < \delta \Rightarrow |f(x_1) - f(x_2)| < \varepsilon
提示：注意一致连续与普通连续的区别：这里的 \(\delta\) 只依赖于 \(\varepsilon\)，而不依赖于点的位置。
步骤 2/5
目标：写出差值的表达式并有理化
对于 \( f(x) = \sqrt{x} \)，考虑任意两点 \( x_1, x_2 \in [1, +\infty) \)，有：
\[ |f(x_1) - f(x_2)| = |\sqrt{x_1} - \sqrt{x_2}| = \frac{|x_1 - x_2|}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}}. \]
公式：|\sqrt{x_1} - \sqrt{x_2}| = \frac{|x_1 - x_2|}{\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2}}
提示：有理化是处理根式差值的常用技巧，可以避免直接处理根号。
步骤 3/5
目标：利用区间下界进行放缩
由于 \( x_1, x_2 \ge 1 \)，所以 \( \sqrt{x_1} + \sqrt{x_2} \ge 1 + 1 = 2 \)，从而：
\[ |\sqrt{x_1} - \sqrt{x_2}| \le \frac{|x_1 - x_2|}{2}. \]
公式：|\sqrt{x_1} - \sqrt{x_2}| \le \frac{|x_1 - x_2|}{2}
提示：放缩时注意分母的最小值，分母越大，分式越小，因此不等式方向正确。
步骤 4/5
目标：选择 \(\delta\) 并验证一致连续性
对任意给定的 \(\varepsilon > 0\)，取 \(\delta = 2\varepsilon\)。则当 \(|x_1 - x_2| < \delta\) 时，有：
\[ |f(x_1) - f(x_2)| \le \frac{|x_1 - x_2|}{2} < \frac{2\varepsilon}{2} = \varepsilon. \]
公式：\delta = 2\varepsilon
提示：注意 \(\delta\) 的选取要使得放缩后的结果恰好小于 \(\varepsilon\)，这里直接由不等式反推得到。
步骤 5/5
目标：得出结论
由一致连续的定义，\( f(x) = \sqrt{x} \) 在区间 \([1, +\infty)\) 上一致连续。证毕。
提示：证明完成后要明确写出结论，并检查是否满足定义中的所有条件。
步骤 6/8
目标：第3题：介值定理得零点
由 $f$ 变号，存在 $x_1, x_2 \in (0,1)$ 使得 $f(x_1) > 0$，$f(x_2) < 0$。由介值定理，存在 $\xi$ 介于 $x_1$ 与 $x_2$ 之间，使得 $f(\xi)=0$。
提示：介值定理要求函数连续。
步骤 7/8
目标：第4题：构造辅助函数并利用条件
令 $F(x) = \int_0^x f(t) \, dt$，则 $F(0)=0$，$F(1)=\int_0^1 f(x) \, dx = 0$。由分部积分，$$\int_0^1 x f(x) \, dx = \int_0^1 x \, dF(x) = [x F(x)]_0^1 - \int_0^1 F(x) \, dx = -\int_0^1 F(x) \, dx = 0,$$ 故 $\int_0^1 F(x) \, dx = 0$。
公式：$$\int_0^1 x f(x) \, dx = -\int_0^1 F(x) \, dx$$
提示：分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$。
步骤 8/8
目标：第4题：应用第3题结论和罗尔定理
由于 $F$ 连续且 $\int_0^1 F(x) \, dx = 0$，由第3题结论，存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $F(\xi)=0$。又 $F(0)=F(\xi)=0$，由罗尔定理，存在 $\eta \in (0,\xi)$ 使得 $F'(\eta)=f(\eta)=0$。
提示：注意罗尔定理要求函数在闭区间连续、开区间可导，且端点值相等。
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