华中科技大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
5．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{n^{2}}{n^{3}+k^{3}+k^{2}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：改写通项，提取公因式
将和式的通项改写为：
\[
\frac{n^2}{n^3 + k^3 + k^2} = \frac{n^2}{n^3\left(1 + \frac{k^3}{n^3} + \frac{k^2}{n^3}\right)} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{k}{n}\right)^3 + \frac{k^2}{n^3}}
\]
公式：\frac{n^2}{n^3 + k^3 + k^2} = \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + (k/n)^3 + k^2/n^3}
提示：注意分母中k^2/n^3项当n→∞时趋于0，但需保留以进行严格夹逼。
步骤 2/5
目标：构造Riemann和形式
令 \(x_k = \frac{k}{n}\)，则 \(\Delta x = \frac{1}{n}\)，和式可视为：
\[
\sum_{k=1}^n \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + (k/n)^3 + k^2/n^3}
\]
当n→∞时，\(\frac{k^2}{n^3} \leq \frac{1}{n} \to 0\)，因此被积函数趋向于 \(\frac{1}{1+x^3}\)。
公式：S_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} f\left(\frac{k}{n}\right), \quad f(x) = \frac{1}{1+x^3 + x^2/n}
提示：注意f(x)中仍含有n，不能直接取极限，需用夹逼定理处理。
步骤 3/5
目标：使用夹逼定理确定极限
由于 \(0 \leq \frac{k^2}{n^3} \leq \frac{1}{n}\)，有：
\[
\frac{1}{1 + (k/n)^3 + 1/n} \leq \frac{1}{1 + (k/n)^3 + k^2/n^3} \leq \frac{1}{1 + (k/n)^3}
\]
两边乘以1/n并求和，得：
\[
\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{1}{1 + (k/n)^3 + 1/n} \leq S_n \leq \frac{1}{n}\sum_{k=1}^n \frac{1}{1 + (k/n)^3}
\]
当n→∞时，左右两端均收敛到 \(\int_0^1 \frac{1}{1+x^3} dx\)，故原极限等于该积分。
公式：\lim_{n\to\infty} S_n = \int_0^1 \frac{1}{1+x^3} dx
提示：夹逼时需验证左右两端极限相同，且中间项被夹住。
步骤 4/5
目标：计算积分：部分分式分解
分解分母：\(1+x^3 = (1+x)(1-x+x^2)\)。设
\[
\frac{1}{1+x^3} = \frac{A}{1+x} + \frac{Bx+C}{1-x+x^2}
\]
通分后比较系数得：
\[
A = \frac{1}{3}, \quad B = -\frac{1}{3}, \quad C = \frac{2}{3}
\]
因此
\[
\frac{1}{1+x^3} = \frac{1/3}{1+x} + \frac{-x/3 + 2/3}{1-x+x^2}
\]
公式：\frac{1}{1+x^3} = \frac{1/3}{1+x} + \frac{-x/3 + 2/3}{x^2 - x + 1}
提示：注意二次项分母配方：\(x^2 - x + 1 = (x-1/2)^2 + 3/4\)。
步骤 5/5
目标：计算积分：分别积分并求和
第一项：
\[
\int_0^1 \frac{1/3}{1+x} dx = \frac{1}{3} \ln(1+x)\Big|_0^1 = \frac{\ln 2}{3}
\]
第二项：将分子变形 \(-x+2 = -(x-2)\)，并拆分为：
\[
\frac{x-2}{x^2-x+1} = \frac{x-1/2}{(x-1/2)^2+3/4} - \frac{3/2}{(x-1/2)^2+3/4}
\]
积分得：
\[
\int_0^1 \frac{-x/3+2/3}{x^2-x+1} dx = -\frac{1}{3}\left[ \frac{1}{2}\ln\left((x-1/2)^2+\frac{3}{4}\right) - \sqrt{3}\arctan\left(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}\right) \right]_0^1 = \frac{\sqrt{3}\pi}{9}
\]
两项相加得最终结果。
公式：\int_0^1 \frac{1}{1+x^3} dx = \frac{\ln 2}{3} + \frac{\sqrt{3}\pi}{9}
提示：计算第二项时注意代入上下限：\(\arctan(1/\sqrt{3}) = \pi/6\)，\(\arctan(-1/\sqrt{3}) = -\pi/6\)。
步骤 6/6
目标：合并两部分积分结果，得到最终极限值
将第一部分和第二部分积分结果相加：
\[
I = \frac{\ln 2}{3} + \frac{\pi}{3\sqrt{3}}.
\]
因此原极限为：
\[
\boxed{\frac{\ln 2}{3} + \frac{\pi}{3\sqrt{3}}}.
\]
公式：\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac{n^2}{n^3+k^3+k^2} = \frac{\ln 2}{3} + \frac{\pi}{3\sqrt{3}}
提示：最终结果要化简为最简形式，注意 \(\frac{\pi}{3\sqrt{3}}\) 可以有理化为 \(\frac{\sqrt{3}\pi}{9}\)，但通常保留原形式。
步骤 7/7
目标：合并结果得到最终答案
原积分 = \(\frac13 \ln 2 + \frac13 \cdot \frac{\pi}{\sqrt{3}} = \frac{\ln 2}{3} + \frac{\pi}{3\sqrt{3}}\)。
公式：\int_0^1 \frac{dx}{1+x^3} = \frac{\ln 2}{3} + \frac{\pi}{3\sqrt{3}}
提示：最终答案需化简为最简形式，注意有理化分母不是必须的。
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