华中科技大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
6．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{x}-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos \sqrt{x}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：判断极限类型
当 $x \to 0^+$ 时，分子 $e^x - 1 - x \to 0$，分母 $\sqrt{1-x} - \cos\sqrt{x} \to 0$，因此该极限为 $\frac{0}{0}$ 型不定式，适合使用泰勒展开或等价无穷小求解。
公式：\lim_{x \to 0^+} \frac{e^x-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos\sqrt{x}} = \frac{0}{0}
提示：注意 $x \to 0^+$ 方向，但展开时不影响，因为展开式在 $x=0$ 附近成立。
步骤 2/6
目标：展开分子 $e^x - 1 - x$
利用指数函数的泰勒展开：$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)$，代入分子得：$e^x - 1 - x = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)$，主要项为 $\frac{x^2}{2}$。
公式：e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)
提示：分子展开到 $x^2$ 项即可，因为分母主要项也是 $x^2$ 阶。
步骤 3/6
目标：展开分母第一部分 $\sqrt{1-x}$
利用 $(1-u)^{1/2}$ 的泰勒展开：$\sqrt{1-x} = 1 - \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} - \frac{x^3}{16} + O(x^4)$。
公式：\sqrt{1-x} = 1 - \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} - \frac{x^3}{16} + O(x^4)
提示：注意展开到 $x^2$ 项即可，更高阶项不影响极限。
步骤 4/6
目标：展开分母第二部分 $\cos\sqrt{x}$
令 $t = \sqrt{x}$，利用 $\cos t = 1 - \frac{t^2}{2} + \frac{t^4}{24} + O(t^6)$，代入得：$\cos\sqrt{x} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{24} + O(x^3)$。
公式：\cos\sqrt{x} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{24} + O(x^3)
提示：注意 $t^4 = x^2$，因此展开到 $x^2$ 项。
步骤 5/6
目标：计算分母的展开式
将两个展开式相减：
$\sqrt{1-x} - \cos\sqrt{x} = \left(1 - \frac{x}{2} - \frac{x^2}{8} - \frac{x^3}{16} + \cdots\right) - \left(1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{24} + \cdots\right)$
常数项 $1$ 和一次项 $-\frac{x}{2}$ 抵消，合并 $x^2$ 项：$-\frac{x^2}{8} - \frac{x^2}{24} = -\frac{3x^2}{24} - \frac{x^2}{24} = -\frac{4x^2}{24} = -\frac{x^2}{6}$，更高阶项忽略。
公式：\sqrt{1-x} - \cos\sqrt{x} = -\frac{x^2}{6} + O(x^3)
提示：注意符号：$\sqrt{1-x}$ 的 $x^2$ 系数为 $-\frac{1}{8}$，$\cos\sqrt{x}$ 的 $x^2$ 系数为 $+\frac{1}{24}$，相减得 $-\frac{1}{8} - \frac{1}{24} = -\frac{1}{6}$。
步骤 6/6
目标：求极限
分子主要项为 $\frac{x^2}{2}$，分母主要项为 $-\frac{x^2}{6}$，因此：
$$\lim_{x \to 0^+} \frac{e^x-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos\sqrt{x}} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\frac{x^2}{2}}{-\frac{x^2}{6}} = \frac{1/2}{-1/6} = -3$$
公式：\lim_{x \to 0^+} \frac{e^x-1-x}{\sqrt{1-x}-\cos\sqrt{x}} = -3
提示：分子为正（$e^x > 1+x$ 当 $x>0$），分母为负（$\sqrt{1-x} < \cos\sqrt{x}$ 当 $x$ 很小时），结果负号合理。
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