华中科技大学 2025年数学分析第0题

给定点顺序为 $A(1,1) \to B(2,5) \to C(3,2) \to A(1,1)$，形成封闭三角形回路。方向为 $A \to B \to C \to A$，未明确指定逆时针或顺时针，但作为封闭曲线可直接使用格林公式。

设 $P = (x+y)^2$，$Q = -(x^2+y^2)$。计算偏导数： $$ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(-(x^2+y^2)\right) = -2x $$ $$ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left((x+y)^2\right) = 2(x+y) $$ 则被积函数为： $$ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = -2x - 2(x+y) = -4x - 2y $$

三角形顶点 $A(1,1), B(2,5), C(3,2)$。各边直线方程： - $AB$：过 $(1,1)$ 和 $(2,5)$，斜率 $4$，方程 $y = 4x - 3$。 - $BC$：过 $(2,5)$ 和 $(3,2)$，斜率 $-3$，方程 $y = -3x + 11$。 - $CA$：过 $(3,2)$ 和 $(1,1)$，斜率 $\frac{1}{2}$，方程 $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$。

选择先对 $y$ 积分，再对 $x$ 积分。$x$ 的范围为 $1 \le x \le 3$，但在 $x=2$ 处上下边界变化，需分段： - 当 $1 \le x \le 2$ 时：下边界 $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$，上边界 $y = 4x - 3$。 - 当 $2 \le x \le 3$ 时：下边界 $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$，上边界 $y = -3x + 11$。

内层积分： $$ \int_{y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}^{4x-3} (-4x - 2y)\, dy = \left[-4xy - y^2\right]_{y=\frac{x+1}{2}}^{4x-3} $$ 计算上限：$y=4x-3$ 时，$-4x(4x-3) - (4x-3)^2 = -32x^2 + 36x - 9$。 计算下限：$y=\frac{x+1}{2}$ 时，$-4x\cdot\frac{x+1}{2} - \left(\frac{x+1}{2}\right)^2 = \frac{-9x^2 - 10x - 1}{4}$。 内层结果 = 上限 - 下限 = $\frac{-119x^2 + 154x - 35}{4}$。 外层积分： $$ \int_{1}^{2} \frac{-119x^2 + 154x - 35}{4}\, dx = \frac{1}{4}\left[-\frac{119}{3}x^3 + 77x^2 - 35x\right]_{1}^{2} = -\frac{245}{12} $$

内层积分： $$ \int_{y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}}^{-3x+11} (-4x - 2y)\, dy = \left[-4xy - y^2\right]_{y=\frac{x+1}{2}}^{-3x+11} $$ 计算上限：$y=-3x+11$ 时，$-4x(-3x+11) - (-3x+11)^2 = 3x^2 + 22x - 121$。 下限同前：$\frac{-9x^2 - 10x - 1}{4}$。 内层结果 = 上限 - 下限 = $\frac{21x^2 + 98x - 483}{4}$。 外层积分： $$ \int_{2}^{3} \frac{21x^2 + 98x - 483}{4}\, dx = \frac{1}{4}\left[7x^3 + 49x^2 - 483x\right]_{2}^{3} = \frac{1}{4}\left[(-819) - (-714)\right] = -\frac{105}{4} $$

将两段积分结果相加： $$ I = -\frac{245}{12} + \left(-\frac{105}{4}\right) = -\frac{245}{12} - \frac{315}{12} = -\frac{560}{12} = -\frac{140}{3} $$ 因此，所求曲线积分为 $I = -\frac{140}{3}$。