华中科技大学 2026年数学分析第10题

设 $m = \min_{x \in [a,b]} f(x)$，由于 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，最小值存在且可达，记最小值点为 $x_0$（可能不止一个）。当 $n$ 很大时，指数 $e^{-n f(x)}$ 在 $f(x)$ 最小的点附近衰减最慢，对积分贡献最大，这是拉普拉斯方法的基本思想。

由于对所有 $x \in [a,b]$ 有 $f(x) \ge m$，因此 $e^{-n f(x)} \le e^{-n m}$。积分得： \[ \int_a^b e^{-n f(x)} \, dx \le (b-a) e^{-n m} \] 两边取自然对数并除以 $n$： \[ \frac{1}{n} \ln\left(\int_a^b e^{-n f(x)} \, dx\right) \le \frac{1}{n} \ln(b-a) - m \] 令 $n \to \infty$，$\frac{1}{n} \ln(b-a) \to 0$，故上极限 $\limsup_{n\to\infty} \frac{1}{n} \ln\left(\int_a^b e^{-n f(x)} \, dx\right) \le -m$。

对任意 $\epsilon > 0$，由 $f$ 的连续性，存在 $\delta > 0$ 使得当 $|x - x_0| < \delta$ 时，$f(x) \le m + \epsilon$。于是 $e^{-n f(x)} \ge e^{-n(m+\epsilon)}$。取小区间 $[x_0-\delta, x_0+\delta] \cap [a,b]$ 上的积分（为简化，假设 $x_0$ 在内部，否则取单侧区间，不影响极限）： \[ \int_a^b e^{-n f(x)} \, dx \ge \int_{x_0-\delta}^{x_0+\delta} e^{-n(m+\epsilon)} \, dx = 2\delta e^{-n(m+\epsilon)} \] 取对数除以 $n$： \[ \frac{1}{n} \ln\left(\int_a^b e^{-n f(x)} \, dx\right) \ge \frac{1}{n} \ln(2\delta) - (m+\epsilon) \] 令 $n \to \infty$，$\frac{1}{n} \ln(2\delta) \to 0$，得下极限 $\liminf_{n\to\infty} \frac{1}{n} \ln\left(\int_a^b e^{-n f(x)} \, dx\right) \ge -(m+\epsilon)$。由于 $\epsilon$ 任意小，故下极限 $\ge -m$。

由第二步得 $\limsup_{n\to\infty} \frac{1}{n} \ln\left(\int_a^b e^{-n f(x)} \, dx\right) \le -m$，由第三步得 $\liminf_{n\to\infty} \frac{1}{n} \ln\left(\int_a^b e^{-n f(x)} \, dx\right) \ge -m$。因此上极限等于下极限，极限存在且为 $-m$。

因此原极限等于 $-\min_{x \in [a,b]} f(x)$，证毕。