华中科技大学 2026年数学分析第11题
📝 题目
11．（15 分）证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n} \arctan x$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上一致收敛．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：提取公因子，简化级数形式
原级数可写为 $\arctan x \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n}$。由于 $\arctan x$ 在 $[0,1]$ 上连续有界（最大值为 $\arctan 1 = \pi/4$），若 $\sum \frac{\sin(nx)}{n}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛，则乘以有界函数后仍一致收敛。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n} \arctan x = \arctan x \cdot \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n}$$
提示：注意公因子提取后，需关注 $\arctan x$ 在 $x=0$ 处为 0，这有助于改善一致收敛性。
步骤 2/4
目标：分析 $\sum \frac{\sin(nx)}{n}$ 的一致收敛性难点
考虑 Dirichlet 判别法：取 $a_n(x)=1/n$（单调递减且一致趋于 0），$b_n(x)=\sin(nx)$。但 $\sum_{k=1}^n \sin(kx)$ 的部分和估计为 $\left|\sum_{k=1}^n \sin(kx)\right| \le \frac{1}{|\sin(x/2)|}$，在 $x\to 0$ 时无界，因此不能直接得到一致收敛。
公式：$$\left|\sum_{k=1}^n \sin(kx)\right| \le \frac{1}{|\sin(x/2)|} \le \frac{\pi}{x}$$
提示：当 $x$ 接近 0 时，$\pi/x$ 趋于无穷，说明部分和不是一致有界的，需借助 $\arctan x$ 的因子来弥补。
步骤 3/4
目标：利用余项估计证明原级数一致收敛
令余项 $R_N(x)=\arctan x \sum_{n=N+1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n}$。对 $x\in(0,1]$，利用 Abel 求和或分部求和可得估计：$\left|\sum_{n=N+1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n}\right| \le \frac{2\pi}{(N+1)x}$。因此 $|R_N(x)| \le \arctan x \cdot \frac{2\pi}{(N+1)x}$。由于 $\arctan x \le x$（$x\ge 0$），故 $|R_N(x)| \le \frac{2\pi}{N+1}$，与 $x$ 无关。当 $x=0$ 时，$R_N(0)=0$ 也满足此界。
公式：$$|R_N(x)| \le \frac{2\pi}{N+1}, \quad \forall x\in[0,1]$$
提示：关键不等式 $\arctan x \le x$ 在 $x\ge 0$ 时成立，它消去了分母中的 $x$，从而得到一致界。
步骤 4/4
目标：得出结论
由余项一致趋于 0（$N\to\infty$ 时 $\frac{2\pi}{N+1}\to 0$），根据一致收敛的 Cauchy 准则，原级数在 $[0,1]$ 上一致收敛。
公式：$$\lim_{N\to\infty} \sup_{x\in[0,1]} |R_N(x)| = 0$$
提示：验证 $x=0$ 处级数每一项为 0，和函数为 0，余项自然为 0，不影响一致收敛性。
步骤 5/5
目标：应用Dirichlet判别法得出结论
由Dirichlet判别法，$\sum a_n b_n = \sum \frac{1}{n} \cdot \sin nx \arctan x$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛。注意在 $x=0$ 处，级数每一项为0，显然收敛。因此原级数在 $[0,1]$ 上一致收敛。
提示：Dirichlet判别法要求 $a_n$ 单调递减趋于0且 $\sum b_n$ 一致有界，这里均已满足。
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