华南师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
1． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{n+5}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}-\sqrt{n+2005}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：对分子有理化
分子为 $\sqrt{n+5} - \sqrt{n}$，乘以共轭 $\sqrt{n+5} + \sqrt{n}$ 后化简：
$$\sqrt{n+5} - \sqrt{n} = \frac{(n+5)-n}{\sqrt{n+5}+\sqrt{n}} = \frac{5}{\sqrt{n+5}+\sqrt{n}}$$
公式：$$\sqrt{n+5} - \sqrt{n} = \frac{5}{\sqrt{n+5}+\sqrt{n}}$$
提示：注意分子有理化时，分母是共轭和，分子变为两数平方差。
步骤 2/5
目标：对分母有理化
分母为 $\sqrt{n} - \sqrt{n+2005}$，乘以共轭 $\sqrt{n} + \sqrt{n+2005}$ 后化简：
$$\sqrt{n} - \sqrt{n+2005} = \frac{n-(n+2005)}{\sqrt{n}+\sqrt{n+2005}} = \frac{-2005}{\sqrt{n}+\sqrt{n+2005}}$$
公式：$$\sqrt{n} - \sqrt{n+2005} = \frac{-2005}{\sqrt{n}+\sqrt{n+2005}}$$
提示：分母有理化后出现负号，注意符号不要丢失。
步骤 3/5
目标：代入原极限并化简
将有理化后的分子和分母代入原式：
$$\lim_{n\to+\infty} \frac{\frac{5}{\sqrt{n+5}+\sqrt{n}}}{\frac{-2005}{\sqrt{n}+\sqrt{n+2005}}} = \lim_{n\to+\infty} \frac{5}{\sqrt{n+5}+\sqrt{n}} \cdot \frac{\sqrt{n}+\sqrt{n+2005}}{-2005}$$
整理得：
$$= -\frac{5}{2005} \cdot \frac{\sqrt{n}+\sqrt{n+2005}}{\sqrt{n+5}+\sqrt{n}}$$
公式：$$\text{原式} = -\frac{5}{2005} \cdot \frac{\sqrt{n}+\sqrt{n+2005}}{\sqrt{n+5}+\sqrt{n}}$$
提示：化简时注意分数除法要变为乘法，并提取常数因子。
步骤 4/5
目标：提取 $\sqrt{n}$ 并分析极限
分子分母同时提取 $\sqrt{n}$：
$$\frac{\sqrt{n}+\sqrt{n+2005}}{\sqrt{n+5}+\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n}\left(1+\sqrt{1+\frac{2005}{n}}\right)}{\sqrt{n}\left(\sqrt{1+\frac{5}{n}}+1\right)} = \frac{1+\sqrt{1+\frac{2005}{n}}}{\sqrt{1+\frac{5}{n}}+1}$$
当 $n\to+\infty$ 时，$\frac{2005}{n}\to0$，$\frac{5}{n}\to0$，因此分子趋于 $1+1=2$，分母趋于 $1+1=2$，比值趋于 $1$。
公式：$$\lim_{n\to+\infty} \frac{1+\sqrt{1+\frac{2005}{n}}}{\sqrt{1+\frac{5}{n}}+1} = 1$$
提示：注意 $\sqrt{1+\frac{a}{n}} \approx 1+\frac{a}{2n}$ 的近似，但此处直接代入极限即可。
步骤 5/5
目标：得出最终极限值
将比值极限 $1$ 代入前面的表达式：
$$\lim_{n\to+\infty} \left(-\frac{5}{2005} \cdot \frac{\sqrt{n}+\sqrt{n+2005}}{\sqrt{n+5}+\sqrt{n}}\right) = -\frac{5}{2005} \times 1 = -\frac{5}{2005}$$
化简分数：$\frac{5}{2005} = \frac{1}{401}$，故极限为 $-\frac{1}{401}$。
公式：$$\lim_{n\to+\infty} \frac{\sqrt{n+5}-\sqrt{n}}{\sqrt{n}-\sqrt{n+2005}} = -\frac{1}{401}$$
提示：最后结果要化为最简分数，注意负号不能遗漏。
步骤 6/6
目标：计算极限值
将比值极限代入原式：
\[
\lim_{n\to\infty} \frac{5}{-2005} \cdot \frac{\sqrt{n}+\sqrt{n+2005}}{\sqrt{n+5}+\sqrt{n}} = \frac{5}{-2005} \times 1 = -\frac{5}{2005} = -\frac{1}{401}
\]
公式：-\frac{1}{401}
提示：约分时注意\(\frac{5}{2005} = \frac{1}{401}\)，负号保留。
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