华南师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
2． $\displaystyle \lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{n+2}{n-1}\right)^{n}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简括号内的分式
将分式 $\frac{n+2}{n-1}$ 变形为 $1+\frac{3}{n-1}$，即 $\frac{n+2}{n-1} = \frac{n-1+3}{n-1} = 1 + \frac{3}{n-1}$。
公式：\frac{n+2}{n-1} = 1 + \frac{3}{n-1}
提示：注意分子加3后要保证与原式相等，不要漏掉常数项。
步骤 2/6
目标：将极限表达式转化为标准形式
原极限变为 $\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{3}{n-1}\right)^n$。为了利用重要极限 $\lim_{t \to \infty} (1+\frac{a}{t})^t = e^a$，需要将指数与分母匹配。
公式：\left(1 + \frac{3}{n-1}\right)^n
提示：重要极限的形式要求指数与分母相同，这里分母是 $n-1$，指数是 $n$，需要拆分。
步骤 3/6
目标：拆分指数以匹配分母
将表达式拆分为 $\left(1 + \frac{3}{n-1}\right)^n = \left(1 + \frac{3}{n-1}\right)^{n-1} \cdot \left(1 + \frac{3}{n-1}\right)$。
公式：\left(1 + \frac{3}{n-1}\right)^n = \left(1 + \frac{3}{n-1}\right)^{n-1} \cdot \left(1 + \frac{3}{n-1}\right)
提示：拆分时注意指数运算规则：$a^{m+n}=a^m \cdot a^n$，这里 $n = (n-1)+1$。
步骤 4/6
目标：计算第一个因子的极限
令 $t = n-1$，则当 $n \to +\infty$ 时 $t \to +\infty$，第一个因子为 $\left(1 + \frac{3}{t}\right)^t$，其极限为 $e^3$。
公式：\lim_{t \to +\infty} \left(1 + \frac{3}{t}\right)^t = e^3
提示：这是重要极限的直接应用，注意 $a=3$。
步骤 5/6
目标：计算第二个因子的极限
第二个因子为 $\left(1 + \frac{3}{n-1}\right)$，当 $n \to +\infty$ 时，$\frac{3}{n-1} \to 0$，因此极限为 $1$。
公式：\lim_{n \to +\infty} \left(1 + \frac{3}{n-1}\right) = 1
提示：直接代入极限，分母趋于无穷大，分式趋于0。
步骤 6/6
目标：合并极限得到最终结果
原极限等于两个因子极限的乘积：$e^3 \times 1 = e^3$。
公式：\lim_{n \to +\infty} \left(\frac{n+2}{n-1}\right)^n = e^3
提示：极限乘法法则要求每个因子的极限都存在，这里都满足。
步骤 7/7
目标：得出最终结果
原极限 $= (e^3)^1 = e^3$。
提示：注意幂运算：$(e^3)^1 = e^3$。
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