华南师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
3． $\lim _{x \rightarrow+\infty}(\sin \sqrt{x+1}-\sin \sqrt{x})$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：使用和差化积公式转化原式
对于正弦函数的差，有公式：
\[
\sin A - \sin B = 2 \cos\frac{A+B}{2} \sin\frac{A-B}{2}
\]
令 \(A = \sqrt{x+1}\)，\(B = \sqrt{x}\)，则
\[
\sin\sqrt{x+1} - \sin\sqrt{x} = 2 \cos\left(\frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}{2}\right) \sin\left(\frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x}}{2}\right)
\]
公式：\sin A - \sin B = 2 \cos\frac{A+B}{2} \sin\frac{A-B}{2}
提示：注意和差化积公式中余弦和正弦的系数2，不要遗漏。
步骤 2/5
目标：化简差值部分
计算 \(\sqrt{x+1} - \sqrt{x}\)，通过有理化：
\[
\sqrt{x+1} - \sqrt{x} = \frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}
\]
因此
\[
\frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x}}{2} = \frac{1}{2(\sqrt{x+1} + \sqrt{x})}
\]
公式：\sqrt{x+1} - \sqrt{x} = \frac{1}{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}
提示：有理化时注意分子分母同乘共轭，避免符号错误。
步骤 3/5
目标：分析正弦部分当x趋于无穷时的渐近行为
当 \(x \to +\infty\) 时，\(\sqrt{x+1} \sim \sqrt{x}\)，所以
\[
\frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x}}{2} \sim \frac{1}{4\sqrt{x}} \to 0
\]
利用等价无穷小 \(\sin u \sim u\)（当 \(u \to 0\)），得
\[
\sin\left(\frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x}}{2}\right) \sim \frac{1}{4\sqrt{x}}
\]
公式：\sin u \sim u \quad (u \to 0)
提示：等价无穷小替换时，必须确保变量趋于0，这里差值部分确实趋于0。
步骤 4/5
目标：利用余弦函数的有界性进行放缩
余弦函数满足 \(\left|\cos\left(\frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}{2}\right)\right| \le 1\)，因此
\[
\left|\sin\sqrt{x+1} - \sin\sqrt{x}\right| = 2 \left|\cos\left(\frac{\sqrt{x+1} + \sqrt{x}}{2}\right)\right| \cdot \left|\sin\left(\frac{\sqrt{x+1} - \sqrt{x}}{2}\right)\right| \le 2 \cdot 1 \cdot \frac{1}{4\sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}
\]
公式：|\cos(\cdot)| \le 1
提示：放缩时注意保持不等号方向，绝对值处理要小心。
步骤 5/5
目标：应用夹逼定理求极限
由于 \(0 \le \left|\sin\sqrt{x+1} - \sin\sqrt{x}\right| \le \frac{1}{2\sqrt{x}}\)，且 \(\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2\sqrt{x}} = 0\)，由夹逼定理得
\[
\lim_{x \to +\infty} (\sin\sqrt{x+1} - \sin\sqrt{x}) = 0
\]
公式：夹逼定理：若 a_n ≤ b_n ≤ c_n 且 lim a_n = lim c_n = L，则 lim b_n = L
提示：夹逼定理要求两边极限相等，这里左边是0，右边趋于0，中间绝对值趋于0，故原极限为0。
步骤 6/6
目标：得出最终极限值
综合以上分析，无论使用和差化积加等价无穷小，还是直接使用不等式夹逼，均得到极限为 0。因此
$$\lim_{x \to +\infty} (\sin\sqrt{x+1} - \sin\sqrt{x}) = 0$$
公式：$$\lim_{x \to +\infty} (\sin\sqrt{x+1} - \sin\sqrt{x}) = 0$$
提示：最终答案是一个确定的数值0，不要遗漏极限符号。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。