华南师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
4． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \cos x-\sin x}{x^{2} \sin x}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：判断极限类型
当 $x \to 0$ 时，分子 $x \cos x - \sin x \to 0$，分母 $x^2 \sin x \to 0$，因此该极限为 $\frac{0}{0}$ 型未定式。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{x \cos x - \sin x}{x^2 \sin x} = \frac{0}{0}
提示：注意检查分子分母是否同时趋于0，这是使用洛必达法则或泰勒展开的前提。
步骤 2/5
目标：选择解法并展开分子中的三角函数
使用泰勒展开（麦克劳林公式）简化计算。当 $x \to 0$ 时：
\[
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4), \quad \sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + o(x^5)
\]
先计算 $x \cos x$：
\[
x \cos x = x\left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + \cdots\right) = x - \frac{x^3}{2} + \frac{x^5}{24} + o(x^5)
\]
公式：x \cos x = x - \frac{x^3}{2} + \frac{x^5}{24} + o(x^5)
提示：展开时注意保留到足够高阶的项，确保分子分母的最低次幂能准确比较。
步骤 3/5
目标：计算分子 $x \cos x - \sin x$ 的展开式
将 $x \cos x$ 与 $\sin x$ 的展开式相减：
\[
x \cos x - \sin x = \left(x - \frac{x^3}{2} + \frac{x^5}{24} + \cdots\right) - \left(x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + \cdots\right)
\]
合并同类项：
\[
= \left(-\frac{x^3}{2} + \frac{x^3}{6}\right) + \left(\frac{x^5}{24} - \frac{x^5}{120}\right) + \cdots = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{30} + o(x^5)
\]
因此分子的主项为 $-\frac{x^3}{3}$。
公式：x \cos x - \sin x = -\frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{30} + o(x^5)
提示：注意 $x$ 的一次项抵消，最低次幂为 $x^3$，系数为 $-\frac{1}{3}$。
步骤 4/5
目标：展开分母 $x^2 \sin x$
将 $\sin x$ 的展开式代入分母：
\[
x^2 \sin x = x^2 \left( x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} + \cdots \right) = x^3 - \frac{x^5}{6} + o(x^5)
\]
因此分母的主项为 $x^3$。
公式：x^2 \sin x = x^3 - \frac{x^5}{6} + o(x^5)
提示：分母的最低次幂也是 $x^3$，与分子同阶，可求极限。
步骤 5/5
目标：求极限值
将分子和分母的展开式代入原极限：
\[
\frac{x \cos x - \sin x}{x^2 \sin x} = \frac{-\frac{x^3}{3} + o(x^3)}{x^3 + o(x^3)} = \frac{-\frac{1}{3} + o(1)}{1 + o(1)}
\]
当 $x \to 0$ 时，$o(1) \to 0$，因此极限为 $-\frac{1}{3}$。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{x \cos x - \sin x}{x^2 \sin x} = -\frac{1}{3}
提示：注意高阶无穷小 $o(x^3)$ 在比值中转化为 $o(1)$，不影响极限结果。
步骤 6/6
目标：求极限值
当 $x \to 0$ 时，分子中的 $\frac{x^2}{30}$ 和分母中的 $-\frac{x^2}{6}$ 以及所有高阶项都趋于0，因此极限为：
$$\frac{-\frac{1}{3}}{1} = -\frac{1}{3}$$
公式：\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{3} + \frac{x^2}{30} + O(x^4)}{1 - \frac{x^2}{6} + O(x^4)} = -\frac{1}{3}
提示：这一步直接代入 $x=0$ 即可，因为分式已化为非零常数除以非零常数的形式。
步骤 7/7
目标：得出最终结果
因此，所求极限为 \(-\dfrac{1}{3}\)。
公式：\boxed{-\dfrac{1}{3}}
提示：结果应化简为最简分数形式。
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