华南师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
5． $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y}{\sqrt{x y+1}-1}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别极限类型
当 $(x,y) \to (0,0)$ 时，分子 $xy \to 0$，分母 $\sqrt{xy+1} - 1 \to 0$，因此该极限是 $\frac{0}{0}$ 型未定式。
提示：注意分子分母同时趋于0，不能直接代入，需要进一步处理。
步骤 2/5
目标：有理化分母
将分子分母同时乘以 $\sqrt{xy+1} + 1$：
$$
\frac{xy}{\sqrt{xy+1} - 1} = \frac{xy (\sqrt{xy+1} + 1)}{(\sqrt{xy+1} - 1)(\sqrt{xy+1} + 1)}.
$$
公式：\frac{xy}{\sqrt{xy+1} - 1} = \frac{xy (\sqrt{xy+1} + 1)}{(\sqrt{xy+1} - 1)(\sqrt{xy+1} + 1)}
提示：有理化是处理含根号分母的常用技巧，注意分子也要乘上相同因子。
步骤 3/5
目标：化简分母
利用平方差公式计算分母：
$$
(\sqrt{xy+1} - 1)(\sqrt{xy+1} + 1) = (xy+1) - 1 = xy.
$$
因此原式变为：
$$
\frac{xy (\sqrt{xy+1} + 1)}{xy}.
$$
公式：(\sqrt{xy+1} - 1)(\sqrt{xy+1} + 1) = xy
提示：平方差公式 $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ 要熟练运用。
步骤 4/5
目标：约去公因子
当 $xy \neq 0$ 时（在极限过程中，我们考虑的是趋近于0但不等于0的点），可以约去分子分母中的 $xy$：
$$
\frac{xy (\sqrt{xy+1} + 1)}{xy} = \sqrt{xy+1} + 1.
$$
公式：\sqrt{xy+1} + 1
提示：约分时要注意 $xy$ 不能等于0，但在极限过程中 $xy$ 可以任意接近0而不等于0，所以约分是合法的。
步骤 5/5
目标：代入求极限
化简后的表达式 $\sqrt{xy+1} + 1$ 在 $(x,y) \to (0,0)$ 时是连续的，因此可以直接代入 $(0,0)$：
$$
\lim_{(x,y) \to (0,0)} (\sqrt{xy+1} + 1) = \sqrt{0+1} + 1 = 1 + 1 = 2.
$$
公式：\lim_{(x,y) \to (0,0)} (\sqrt{xy+1} + 1) = 2
提示：代入时注意 $xy$ 整体趋于0，不要误以为 $x$ 和 $y$ 分别代入。
步骤 6/6
目标：得出结果
因此，原极限的值为 $2$。
提示：最终结果应写为 $2$。
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