华南师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
三、讨论题． 10 分．
对于二元函数 $\displaystyle f(x, y)$ ，如果两个累次极限存在，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \lim _{y \rightarrow 0} f(x, y)=\lim _{y \rightarrow 0} \lim _{x \rightarrow 0} f(x, y)$ ．问 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)$ 是否一定存在？请说明理由．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确累次极限与二重极限的定义
累次极限是指先固定一个变量，让另一个变量趋于0，再求另一个极限。例如，$\lim_{x \to 0} \lim_{y \to 0} f(x,y)$ 表示先对 $y$ 取极限（将 $x$ 视为常数），得到关于 $x$ 的函数，再令 $x \to 0$。二重极限 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$ 要求当点 $(x,y)$ 以任意方式趋近于 $(0,0)$ 时，函数值都趋于同一个数。
公式：\lim_{x \to 0} \lim_{y \to 0} f(x,y), \quad \lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)
提示：注意区分两种极限的趋近方式：累次极限只沿坐标轴方向，二重极限要求所有路径。
步骤 2/5
目标：分析累次极限与二重极限的关系
一般来说，二重极限存在可以推出两个累次极限存在且相等（在某种条件下），但反过来不一定成立。累次极限存在且相等，并不能保证二重极限存在，因为二重极限要求所有路径的极限一致，而累次极限只考虑沿坐标轴方向的特殊路径（先沿一条坐标轴趋近，再沿另一条）。
提示：不要混淆充分性与必要性：二重极限存在是累次极限存在且相等的充分条件，但不是必要条件。
步骤 3/5
目标：构造反例说明结论不成立
考虑函数 $f(x,y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}$，该函数在原点无定义，但可讨论极限。先计算累次极限：固定 $x \neq 0$，先令 $y \to 0$，则 $\frac{xy}{x^2+y^2} \to 0$，再令 $x \to 0$，得 $0$；同理，固定 $y \neq 0$，先令 $x \to 0$，得 $0$，再令 $y \to 0$，也得 $0$。因此两个累次极限均为 $0$，相等。
公式：f(x,y) = \frac{xy}{x^2 + y^2}
提示：计算累次极限时，注意先固定一个变量，再对另一个变量取极限。
步骤 4/5
目标：验证二重极限不存在
考虑沿直线 $y = kx$ 趋近原点（$k$ 为任意常数），代入得 $f(x, kx) = \frac{x \cdot kx}{x^2 + k^2 x^2} = \frac{k}{1+k^2}$。该结果依赖于 $k$，即不同方向极限不同（例如 $k=0$ 时极限为 $0$，$k=1$ 时极限为 $\frac{1}{2}$），因此二重极限 $\lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y)$ 不存在。
公式：f(x, kx) = \frac{k}{1+k^2}
提示：判断二重极限是否存在，常用方法是选取不同路径（如直线、抛物线等），若结果不同则极限不存在。
步骤 5/5
目标：得出结论
由反例可知，即使两个累次极限存在且相等，二重极限也不一定存在。因此题目中的问题答案为否定。
提示：记住这个经典反例，有助于理解累次极限与二重极限的区别。
步骤 6/6
目标：得出结论
由反例可知，即使两个累次极限存在且相等，二重极限也不一定存在。因此题目中的结论是否定的。
提示：回答时需明确给出反例，并说明理由。
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