华南师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
1．设 $n$ 为正整数，$\displaystyle y=\frac{x^{n}}{2-x}$ ，求 $y^{(n)}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将函数改写为便于求导的形式
将分母 $2-x$ 改写为 $2\left(1-\frac{x}{2}\right)$，从而得到 $y = \frac{x^n}{2-x} = \frac{x^n}{2} \cdot \frac{1}{1-\frac{x}{2}}$。当 $|x|<2$ 时，利用几何级数展开 $\frac{1}{1-\frac{x}{2}} = \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{x}{2}\right)^k$，于是 $y = \frac{x^n}{2} \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{x}{2}\right)^k = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{n+k}}{2^{k+1}}$。
公式：\frac{1}{2-x} = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{2^{k+1}}
提示：注意几何级数展开的条件是 $|x|<2$，但求导结果作为解析函数可延拓到整个定义域。
步骤 2/4
目标：逐项求n阶导数
对级数通项 $\frac{x^{n+k}}{2^{k+1}}$ 求 $n$ 阶导数。当 $k=0$ 时，指数为 $n$，$n$ 阶导数为 $n!$，除以系数 $2$ 得 $\frac{n!}{2}$。当 $k\ge 1$ 时，指数 $n+k > n$，导数为 $\frac{(n+k)!}{k!} x^k$，再除以 $2^{k+1}$，得 $\frac{(n+k)!}{k!\,2^{k+1}} x^k$。因此 $y^{(n)} = \frac{n!}{2} + \sum_{k=1}^\infty \frac{(n+k)!}{k!\,2^{k+1}} x^k$。
公式：\frac{d^n}{dx^n} x^m = \begin{cases} 0, & mn \end{cases}
提示：注意 $k=0$ 项单独处理，因为其导数后为常数，不再含 $x$。
步骤 3/4
目标：将结果写成封闭形式
观察到 $\frac{n!}{2} \cdot \frac{1}{(1-\frac{x}{2})^{n+1}}$ 的麦克劳林展开为 $\frac{n!}{2} \sum_{k=0}^\infty \binom{n+k}{k} \left(\frac{x}{2}\right)^k = \sum_{k=0}^\infty \frac{(n+k)!}{k!\,2^{k+1}} x^k$，与 $y^{(n)}$ 的级数形式完全一致（包括 $k=0$ 项）。因此 $y^{(n)} = \frac{n!}{2} \cdot \frac{1}{(1-\frac{x}{2})^{n+1}}$。
公式：\frac{1}{(1-t)^{n+1}} = \sum_{k=0}^\infty \binom{n+k}{k} t^k
提示：二项式系数 $\binom{n+k}{k} = \frac{(n+k)!}{n!\,k!}$ 是化简的关键。
步骤 4/4
目标：化简得到最终表达式
将 $\frac{n!}{2} \cdot \frac{1}{(1-\frac{x}{2})^{n+1}}$ 化简：$\frac{n!}{2} \cdot \frac{2^{n+1}}{(2-x)^{n+1}} = \frac{n!\,2^n}{(2-x)^{n+1}}$。这就是所求的 $n$ 阶导数。
公式：y^{(n)} = \frac{n!\,2^n}{(2-x)^{n+1}}
提示：最终结果不含级数，是一个简洁的有理函数形式，注意 $n$ 是正整数。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
将求和结果代入 $y^{(n)}$ 表达式：$y^{(n)} = n! \cdot \frac{2^n}{(2-x)^{n+1}}$。因此，$y$ 的 $n$ 阶导数为 $\frac{2^n n!}{(2-x)^{n+1}}$。
公式：$y^{(n)} = \frac{2^n n!}{(2-x)^{n+1}}$
提示：最终结果不含 $x^n$ 项，说明高阶导数后 $x$ 的幂次被完全吸收到分母中，这是分式函数的特点。
步骤 6/7
目标：变量代换并利用二项式定理求和
令 $j = n-k$，则 $y^{(n)} = n! \sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} x^{j} (2-x)^{-(j+1)} = \frac{n!}{2-x} \sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} \left( \frac{x}{2-x} \right)^j$。
由二项式定理，$\sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} \left( \frac{x}{2-x} \right)^j = \left(1 + \frac{x}{2-x}\right)^n = \left( \frac{2}{2-x} \right)^n$。
公式：\sum_{j=0}^{n} \binom{n}{j} \left( \frac{x}{2-x} \right)^j = \left( \frac{2}{2-x} \right)^n
提示：注意 $1 + \frac{x}{2-x} = \frac{2}{2-x}$ 的化简。
步骤 7/7
目标：得到最终结果
因此 $y^{(n)} = \frac{n!}{2-x} \cdot \left( \frac{2}{2-x} \right)^n = \frac{2^n n!}{(2-x)^{n+1}}$。
公式：y^{(n)} = \frac{2^n n!}{(2-x)^{n+1}}
提示：最终结果简洁，注意分母指数为 $n+1$。
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