华南师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
2．设 $\displaystyle u=f\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\right)$ ，其中 $f$ 二阶可导，求 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：引入中间变量，简化复合函数结构
令 $t = \frac{y}{x} + \frac{z}{y} + \frac{x}{z}$，则 $u = f(t)$，其中 $f$ 二阶可导。
公式：$t = \frac{y}{x} + \frac{z}{y} + \frac{x}{z}$
提示：注意 $t$ 是 $x,y,z$ 的函数，后续求导时需使用链式法则。
步骤 2/7
目标：计算 $\frac{\partial t}{\partial x}$
对 $t = y x^{-1} + \frac{z}{y} + x z^{-1}$ 关于 $x$ 求偏导，视 $y,z$ 为常数：
第一项导数为 $-y x^{-2}$，第二项为 $0$，第三项导数为 $\frac{1}{z}$。
故 $\frac{\partial t}{\partial x} = -\frac{y}{x^2} + \frac{1}{z}$。
公式：$\frac{\partial t}{\partial x} = \frac{1}{z} - \frac{y}{x^2}$
提示：注意 $\frac{x}{z}$ 对 $x$ 求导时 $z$ 视为常数，结果为 $\frac{1}{z}$。
步骤 3/7
目标：求一阶偏导 $\frac{\partial u}{\partial x}$
由链式法则：$\frac{\partial u}{\partial x} = f'(t) \cdot \frac{\partial t}{\partial x}$，代入 $\frac{\partial t}{\partial x}$ 得：
$\frac{\partial u}{\partial x} = f'(t)\left(\frac{1}{z} - \frac{y}{x^2}\right)$。
公式：$\frac{\partial u}{\partial x} = f'\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\right)\left(\frac{1}{z} - \frac{y}{x^2}\right)$
提示：$f'(t)$ 是 $f$ 对中间变量 $t$ 的导数，不要忘记链式法则。
步骤 4/7
目标：计算 $\frac{\partial t}{\partial y}$
对 $t = \frac{y}{x} + z y^{-1} + \frac{x}{z}$ 关于 $y$ 求偏导，视 $x,z$ 为常数：
第一项导数为 $\frac{1}{x}$，第二项导数为 $-\frac{z}{y^2}$，第三项为 $0$。
故 $\frac{\partial t}{\partial y} = \frac{1}{x} - \frac{z}{y^2}$。
公式：$\frac{\partial t}{\partial y} = \frac{1}{x} - \frac{z}{y^2}$
提示：注意 $\frac{z}{y}$ 对 $y$ 求导时 $z$ 视为常数，结果为 $-\frac{z}{y^2}$。
步骤 5/7
目标：对 $\frac{\partial u}{\partial x}$ 应用乘积法则求 $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}$
已知 $\frac{\partial u}{\partial x} = f'(t) \cdot \left(\frac{1}{z} - \frac{y}{x^2}\right)$，对 $y$ 求偏导：
$\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y}[f'(t)] \cdot \left(\frac{1}{z} - \frac{y}{x^2}\right) + f'(t) \cdot \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{z} - \frac{y}{x^2}\right)$。
公式：乘积法则：$(f'(t) \cdot g)'_y = f''(t) \cdot \frac{\partial t}{\partial y} \cdot g + f'(t) \cdot \frac{\partial g}{\partial y}$
提示：注意 $f'(t)$ 仍是 $t$ 的函数，对 $y$ 求导时需用链式法则得到 $f''(t) \cdot \frac{\partial t}{\partial y}$。
步骤 6/7
目标：计算第一项和第二项的具体表达式
第一项：$\frac{\partial}{\partial y}[f'(t)] = f''(t) \cdot \frac{\partial t}{\partial y} = f''(t)\left(\frac{1}{x} - \frac{z}{y^2}\right)$，乘以 $\left(\frac{1}{z} - \frac{y}{x^2}\right)$ 得 $f''(t)\left(\frac{1}{x} - \frac{z}{y^2}\right)\left(\frac{1}{z} - \frac{y}{x^2}\right)$。
第二项：$\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{1}{z} - \frac{y}{x^2}\right) = -\frac{1}{x^2}$，乘以 $f'(t)$ 得 $-\frac{1}{x^2} f'(t)$。
公式：$\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = f''(t)\left(\frac{1}{x} - \frac{z}{y^2}\right)\left(\frac{1}{z} - \frac{y}{x^2}\right) - \frac{1}{x^2} f'(t)$
提示：注意第二项中 $\frac{1}{z}$ 对 $y$ 求导为 $0$，只有 $-\frac{y}{x^2}$ 对 $y$ 求导得 $-\frac{1}{x^2}$。
步骤 7/7
目标：将 $t$ 代回原变量，写出最终结果
将 $t = \frac{y}{x} + \frac{z}{y} + \frac{x}{z}$ 代入一阶和二阶偏导表达式中，得到最终答案。
公式：$\frac{\partial u}{\partial x} = f'\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\right)\left(\frac{1}{z} - \frac{y}{x^2}\right)$
$\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = f''\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\right)\left(\frac{1}{x} - \frac{z}{y^2}\right)\left(\frac{1}{z} - \frac{y}{x^2}\right) - \frac{1}{x^2} f'\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\right)$
提示：最终结果中 $f'$ 和 $f''$ 的自变量是同一个中间变量，不要遗漏。
步骤 8/8
目标：写出最终结果
将 $t$ 代回原表达式：$\frac{\partial u}{\partial x} = f'\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\right)\left(-\frac{y}{x^2}+\frac{1}{z}\right)$，$\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = f''\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\right)\left(\frac{1}{x} - \frac{z}{y^2}\right)\left(-\frac{y}{x^2}+\frac{1}{z}\right) - f'\left(\frac{y}{x}+\frac{z}{y}+\frac{x}{z}\right)\cdot\frac{1}{x^2}$。
提示：最终结果中 $f'$ 和 $f''$ 的自变量是 $t$，不要忘记写。
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