华南师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
3．求 $\displaystyle \int e^{-x}\left(\frac{1+x}{1+x^{2}}\right)^{2} d x$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：展开被积函数的平方项
将 $\left(\frac{1+x}{1+x^{2}}\right)^{2}$ 展开为 $\frac{(1+x)^2}{(1+x^2)^2}$，并展开分子 $(1+x)^2 = 1 + 2x + x^2$，得到：
$$\int e^{-x} \cdot \frac{1 + 2x + x^2}{(1+x^2)^2} \, dx$$
公式：$$\left(\frac{1+x}{1+x^{2}}\right)^{2} = \frac{1 + 2x + x^2}{(1+x^2)^2}$$
提示：注意平方展开时不要漏掉交叉项 $2x$。
步骤 2/5
目标：拆分分子以简化积分
将分子 $1+2x+x^2$ 拆分为 $(1+x^2) + 2x$，从而将分式拆成两项之和：
$$\frac{1+2x+x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1+x^2}{(1+x^2)^2} + \frac{2x}{(1+x^2)^2} = \frac{1}{1+x^2} + \frac{2x}{(1+x^2)^2}$$
原积分变为：
$$\int e^{-x} \left( \frac{1}{1+x^2} + \frac{2x}{(1+x^2)^2} \right) dx$$
公式：$$\frac{1+2x+x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1}{1+x^2} + \frac{2x}{(1+x^2)^2}$$
提示：这种拆分是为了后续利用导数关系进行分部积分。
步骤 3/5
目标：识别第二项与导数关系
注意到 $\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+x^2}\right) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2}$，因此第二项可写为：
$$\int e^{-x} \cdot \frac{2x}{(1+x^2)^2} \, dx = -\int e^{-x} \, d\left(\frac{1}{1+x^2}\right)$$
公式：$$\frac{2x}{(1+x^2)^2} = -\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1+x^2}\right)$$
提示：注意负号不要遗漏，这是分部积分的关键。
步骤 4/5
目标：对第二项进行分部积分
令 $u = e^{-x}$，$dv = d\left(\frac{1}{1+x^2}\right)$，则 $du = -e^{-x}dx$，$v = \frac{1}{1+x^2}$。分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ 给出：
$$-\int e^{-x} \, d\left(\frac{1}{1+x^2}\right) = -\left[ e^{-x} \cdot \frac{1}{1+x^2} - \int \frac{1}{1+x^2} \cdot (-e^{-x} dx) \right]$$
化简得：
$$= -\frac{e^{-x}}{1+x^2} - \int \frac{e^{-x}}{1+x^2} \, dx$$
公式：$$-\int e^{-x} \, d\left(\frac{1}{1+x^2}\right) = -\frac{e^{-x}}{1+x^2} - \int \frac{e^{-x}}{1+x^2} \, dx$$
提示：注意 $d(e^{-x}) = -e^{-x}dx$，代入时符号要仔细。
步骤 5/5
目标：合并两项并消去相同积分
原积分为第一项 $\int \frac{e^{-x}}{1+x^2} \, dx$ 与第二项 $-\frac{e^{-x}}{1+x^2} - \int \frac{e^{-x}}{1+x^2} \, dx$ 之和：
$$\int \frac{e^{-x}}{1+x^2} \, dx + \left( -\frac{e^{-x}}{1+x^2} - \int \frac{e^{-x}}{1+x^2} \, dx \right)$$
两项积分互相抵消，得到简洁结果：
$$-\frac{e^{-x}}{1+x^2} + C$$
公式：$$\int e^{-x}\left(\frac{1+x}{1+x^{2}}\right)^{2} dx = -\frac{e^{-x}}{1+x^{2}} + C$$
提示：抵消后不要忘记加上积分常数 $C$。
步骤 6/6
目标：合并所有项，得到最终结果
将第三步和第五步的结果合并：
原积分 $= e^{-x} \left( \arctan x - \frac{1}{1+x^2} \right) + \left( -e^{-x} \arctan x \right) + C$
$= e^{-x} \arctan x - \frac{e^{-x}}{1+x^2} - e^{-x} \arctan x + C$
$= -\frac{e^{-x}}{1+x^2} + C$
公式：$$\int e^{-x}\left(\frac{1+x}{1+x^{2}}\right)^{2} dx = -\frac{e^{-x}}{1+x^{2}} + C$$
提示：最后合并时 $\arctan x$ 项完全抵消，结果简洁，注意加上积分常数 $C$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。