华南师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
4．计算 $\iint_{D}|\sin (x+y)| d x d y, D=[0, \pi] \times[0, \pi]$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析被积函数的正负变化，确定分界线
在区域 $D=[0,\pi]\times[0,\pi]$ 上，$x+y$ 的取值范围为 $[0,2\pi]$。由于 $\sin t$ 在 $t\in[0,\pi]$ 时非负，在 $t\in[\pi,2\pi]$ 时非正，因此分界线为直线 $x+y=\pi$。当 $x+y\le\pi$ 时，$|\sin(x+y)|=\sin(x+y)$；当 $x+y\ge\pi$ 时，$|\sin(x+y)|=-\sin(x+y)$。
公式：$|\sin(x+y)| = \begin{cases} \sin(x+y), & x+y\le\pi \\ -\sin(x+y), & x+y\ge\pi \end{cases}$
提示：注意 $x+y$ 的范围是从 $0$ 到 $2\pi$，不要遗漏边界情况。
步骤 2/5
目标：将积分区域划分为两个子区域
令 $D_1 = \{(x,y)\in D \mid x+y\le\pi\}$（左下三角形），$D_2 = \{(x,y)\in D \mid x+y\ge\pi\}$（右上三角形）。则原积分可写为：
$$\iint_D |\sin(x+y)|\,dx\,dy = \iint_{D_1} \sin(x+y)\,dx\,dy + \iint_{D_2} (-\sin(x+y))\,dx\,dy$$
公式：$\iint_D |\sin(x+y)|\,dx\,dy = \iint_{D_1} \sin(x+y)\,dx\,dy + \iint_{D_2} (-\sin(x+y))\,dx\,dy$
提示：分界线 $x+y=\pi$ 恰好将正方形分成两个全等的等腰直角三角形。
步骤 3/5
目标：利用对称性简化计算
作变量代换 $x'=\pi-x$，$y'=\pi-y$，则当 $(x,y)\in D_2$ 时，$(x',y')\in D_1$，且 $x+y=2\pi-(x'+y')$，$\sin(x+y)=-\sin(x'+y')$，因此 $-\sin(x+y)=\sin(x'+y')$。面积元不变，故 $\iint_{D_2}(-\sin(x+y))\,dx\,dy = \iint_{D_1}\sin(x'+y')\,dx'\,dy'$。所以两个子区域积分相等，原积分 $=2\iint_{D_1}\sin(x+y)\,dx\,dy$。
公式：$\iint_D |\sin(x+y)|\,dx\,dy = 2\iint_{D_1}\sin(x+y)\,dx\,dy$
提示：对称性可减少一半的计算量，注意代换后积分区域和函数形式的一致性。
步骤 4/5
目标：计算 $D_1$ 上的二重积分
$D_1$ 可表示为 $0\le x\le\pi$，$0\le y\le\pi-x$。先对 $y$ 积分：
$$\int_{y=0}^{\pi-x} \sin(x+y)\,dy = \left[-\cos(x+y)\right]_{y=0}^{\pi-x} = -\cos(\pi) + \cos x = 1 + \cos x$$
再对 $x$ 积分：
$$\int_{x=0}^{\pi} (1+\cos x)\,dx = \left[x+\sin x\right]_{0}^{\pi} = \pi$$
公式：$\iint_{D_1}\sin(x+y)\,dx\,dy = \int_0^\pi (1+\cos x)\,dx = \pi$
提示：计算 $\int \sin(x+y)\,dy$ 时，将 $x$ 视为常数，注意积分上下限的代入。
步骤 5/5
目标：得到最终结果
由对称性，原积分 $=2\times\pi = 2\pi$。
公式：$\iint_D |\sin(x+y)|\,dx\,dy = 2\pi$
提示：最终结果应化简为最简形式，并注意检查积分值是否为正。
步骤 6/8
目标：计算 $D_2$ 上的积分（化为累次积分）
对于 $D_2$，$x$ 从 $0$ 到 $\pi$，对于固定的 $x$，$y$ 从 $\pi-x$ 到 $\pi$。因此 $\iint_{D_2} (-\sin(x+y))\,dxdy = -\int_0^\pi dx \int_{\pi-x}^\pi \sin(x+y)\,dy$。
提示：注意 $y$ 的下限是 $\pi-x$，上限是 $\pi$。
步骤 7/8
目标：计算内层积分（对 $y$）并化简
先计算内层积分：$\int_{\pi-x}^\pi \sin(x+y)\,dy = [-\cos(x+y)]_{y=\pi-x}^\pi = -\cos(x+\pi) + \cos(x+\pi-x) = -\cos(x+\pi) + \cos\pi$。由于 $\cos(x+\pi) = -\cos x$，$\cos\pi = -1$，所以原式 $= -(-\cos x) + (-1) = \cos x -1$。因此 $\iint_{D_2} (-\sin(x+y))\,dxdy = -\int_0^\pi (\cos x -1)\,dx = \int_0^\pi (1-\cos x)\,dx$。
公式：三角恒等式 $\cos(x+\pi) = -\cos x$
提示：注意符号处理，避免出错。
步骤 8/8
目标：计算外层积分并求和
计算 $\int_0^\pi (1-\cos x)\,dx = [x-\sin x]_0^\pi = (\pi-\sin\pi) - (0-\sin0) = \pi - 0 - 0 = \pi$。因此 $D_2$ 上的积分也为 $\pi$。总积分 $= \pi + \pi = 2\pi$。
提示：注意 $\sin\pi=0$，$\sin0=0$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。