华南师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
1．（10 分）设 $\displaystyle f_{n}(x)=\frac{x^{2}}{1+n^{3} x^{3}}, n=1,2, \cdots$ ，试证明函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $(0,+\infty)$ 内一致收敛．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求极限函数
对于每个固定的 $x>0$，当 $n\to\infty$ 时，分母中的 $n^3 x^3$ 趋于无穷大，因此 $\lim_{n\to\infty} f_n(x) = \lim_{n\to\infty} \frac{x^2}{1+n^3 x^3} = 0$。所以极限函数 $f(x)=0$，对一切 $x>0$ 成立。
公式：$$\lim_{n\to\infty} f_n(x)=0$$
提示：注意极限函数是逐点定义的，需要固定 $x$ 再取极限。
步骤 2/5
目标：分析一致收敛的条件
要证明 $f_n(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上一致收敛到 0，需要证明 $\sup_{x>0} |f_n(x)-0| = \sup_{x>0} \frac{x^2}{1+n^3 x^3} \to 0 \quad (n\to\infty)$。
公式：$$\sup_{x>0} \frac{x^2}{1+n^3 x^3} \to 0$$
提示：一致收敛要求上确界趋于零，而不是逐点趋于零。
步骤 3/5
目标：求函数在区间上的最大值
令 $g_n(x) = \frac{x^2}{1+n^3 x^3}, x>0$。求导得 $g_n'(x) = \frac{2x(1+n^3 x^3) - x^2 \cdot 3n^3 x^2}{(1+n^3 x^3)^2} = \frac{2x + 2n^3 x^4 - 3n^3 x^4}{(1+n^3 x^3)^2} = \frac{2x - n^3 x^4}{(1+n^3 x^3)^2}$。令导数为零：$2x - n^3 x^4 = 0 \Rightarrow x(2 - n^3 x^3)=0$。因为 $x>0$，所以 $2 - n^3 x^3 = 0 \Rightarrow x^3 = \frac{2}{n^3} \Rightarrow x = \frac{\sqrt[3]{2}}{n}$。
公式：$$g_n'(x)=\frac{2x - n^3 x^4}{(1+n^3 x^3)^2}$$
提示：求导时注意复合函数求导法则，并正确化简分子。
步骤 4/5
目标：计算最大值
代入驻点 $x = \frac{\sqrt[3]{2}}{n}$ 得：$g_n\left(\frac{\sqrt[3]{2}}{n}\right) = \frac{\left(\frac{\sqrt[3]{2}}{n}\right)^2}{1 + n^3 \cdot \frac{2}{n^3}} = \frac{\frac{2^{2/3}}{n^2}}{1+2} = \frac{2^{2/3}}{3 n^2}$。因此 $\sup_{x>0} |f_n(x)| = \frac{2^{2/3}}{3 n^2}$。
公式：$$\sup_{x>0} |f_n(x)| = \frac{2^{2/3}}{3 n^2}$$
提示：注意 $n^3 \cdot \frac{2}{n^3}=2$，分母简化为 $1+2=3$。
步骤 5/5
目标：验证一致收敛
当 $n\to\infty$ 时，$\frac{2^{2/3}}{3 n^2} \to 0$，这说明上确界趋于零，因此函数列在 $(0,+\infty)$ 上一致收敛于 0。
公式：$$\lim_{n\to\infty}\frac{2^{2/3}}{3 n^2}=0$$
提示：上确界趋于零是一致收敛的充要条件。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此函数列 $\{f_n(x)\}$ 在 $(0, +\infty)$ 上一致收敛于 0。
公式：$$f_n(x) \rightrightarrows 0 \quad \text{在} \ (0, +\infty) \ \text{上}$$
提示：一致收敛的结论需明确收敛函数和区间。
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