华南师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
2．（20 分）判断下列级数及反常积分的玫散性．
（a）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sin \frac{1}{n^{q}}, q \geqslant 0$ ．
（b） $\displaystyle \int_{3}^{+\infty} \frac{\ln x}{(x-\sqrt{x}+2)^{q}} d x, q>0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析级数通项的渐近行为
当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n^q} \to 0$，利用等价无穷小 $\sin u \sim u$（$u \to 0$），得 $\sin\frac{1}{n^q} \sim \frac{1}{n^q}$。因此通项 $\frac{1}{n}\sin\frac{1}{n^q} \sim \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n^q} = \frac{1}{n^{1+q}}$。
公式：$\sin\frac{1}{n^q} \sim \frac{1}{n^q}$，$\frac{1}{n}\sin\frac{1}{n^q} \sim \frac{1}{n^{1+q}}$
提示：注意等价无穷小的使用条件：$u \to 0$ 时 $\sin u \sim u$。
步骤 2/7
目标：应用p-级数判别法判断级数敛散性
级数 $\sum \frac{1}{n^{1+q}}$ 是 $p$-级数，$p=1+q$。$p$-级数收敛当且仅当 $p>1$，即 $1+q>1$，得 $q>0$；当 $q=0$ 时，$p=1$，级数发散。
公式：$\sum \frac{1}{n^p}$ 收敛 $\iff p>1$
提示：不要忽略 $q=0$ 的边界情况，此时通项为 $\frac{\sin 1}{n}$，调和级数发散。
步骤 3/7
目标：给出级数敛散性结论
综合以上，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} \sin \frac{1}{n^q}$ 在 $q>0$ 时收敛，在 $q=0$ 时发散。
步骤 4/7
目标：分析反常积分被积函数在无穷远处的渐近行为
当 $x \to +\infty$ 时，$x - \sqrt{x} + 2 \sim x$，因此分母 $(x - \sqrt{x} + 2)^q \sim x^q$，分子为 $\ln x$，故被积函数 $\frac{\ln x}{(x - \sqrt{x} + 2)^q} \sim \frac{\ln x}{x^q}$。
公式：$x - \sqrt{x} + 2 \sim x$，$\frac{\ln x}{(x - \sqrt{x} + 2)^q} \sim \frac{\ln x}{x^q}$
提示：渐近分析时只保留主导项，$\sqrt{x}$ 相对于 $x$ 可忽略。
步骤 5/7
目标：判断积分 $\int_3^{+\infty} \frac{\ln x}{x^q} dx$ 的收敛性
考虑 $\int_3^{+\infty} \frac{\ln x}{x^q} dx$：当 $q>1$ 时，取 $1X$ 时 $\frac{\ln x}{x^q} \leq \frac{1}{x^r}$，而 $\int_3^\infty \frac{dx}{x^r}$ 收敛，故原积分收敛；当 $q=1$ 时，$\frac{\ln x}{x}$ 的原函数为 $\frac{1}{2}(\ln x)^2$，发散至无穷；当 $0
公式：$\int^{\infty} \frac{\ln x}{x^q} dx$ 收敛 $\iff q>1$
提示：注意 $\ln x$ 的增长速度慢于任何正幂次，但 $q=1$ 时仍发散。
步骤 6/7
目标：检查被积函数是否有瑕点
分母 $x - \sqrt{x} + 2$，在 $x \geq 3$ 时恒正，判别式 $\Delta = 1 - 8 = -7 < 0$，故分母无零点，被积函数在 $[3, +\infty)$ 上连续，无瑕点。
提示：瑕点检查不可忽略，但此处无瑕点问题。
步骤 7/7
目标：给出反常积分敛散性结论
综合以上，反常积分 $\int_3^{+\infty} \frac{\ln x}{(x - \sqrt{x} + 2)^q} dx$ 在 $q>1$ 时收敛，在 $0
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