华南师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
3．（10 分）求函数 $\displaystyle f(x)=\frac{4}{x^{2}-2 x-3}$ 在 $x=1$ 处的幂级数展开式．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简分母，便于处理
分母为 $x^2 - 2x - 3$，因式分解得 $(x-3)(x+1)$，所以 $f(x) = \frac{4}{(x-3)(x+1)}$。
公式：$x^2 - 2x - 3 = (x-3)(x+1)$
提示：注意因式分解的正确性，避免符号错误。
步骤 2/6
目标：化为部分分式
设 $\frac{4}{(x-3)(x+1)} = \frac{A}{x-3} + \frac{B}{x+1}$，两边乘以 $(x-3)(x+1)$ 得 $4 = A(x+1) + B(x-3)$。令 $x=3$ 得 $A=1$，令 $x=-1$ 得 $B=-1$，因此 $f(x) = \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x+1}$。
公式：$\frac{4}{(x-3)(x+1)} = \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x+1}$
提示：部分分式分解时，代入特殊值求解系数是常用技巧。
步骤 3/6
目标：将第一项改写为关于 $(x-1)$ 的形式并展开
$\frac{1}{x-3} = \frac{1}{(x-1)-2} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{x-1}{2}}$，当 $|x-1|<2$ 时，利用几何级数 $\frac{1}{1-u} = \sum_{n=0}^\infty u^n$，得 $\frac{1}{x-3} = -\frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{x-1}{2}\right)^n = -\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-1)^n}{2^{n+1}}$。
公式：$\frac{1}{x-3} = -\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-1)^n}{2^{n+1}}$
提示：注意提出负号时符号的变化，以及几何级数的收敛条件。
步骤 4/6
目标：将第二项改写为关于 $(x-1)$ 的形式并展开
$\frac{1}{x+1} = \frac{1}{(x-1)+2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + \frac{x-1}{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \left(-\frac{x-1}{2}\right)}$，当 $|x-1|<2$ 时，利用几何级数得 $\frac{1}{x+1} = \frac{1}{2} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \left(\frac{x-1}{2}\right)^n = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(x-1)^n}{2^{n+1}}$。
公式：$\frac{1}{x+1} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(x-1)^n}{2^{n+1}}$
提示：注意 $\frac{1}{1+u}$ 的展开中 $u$ 的符号处理。
步骤 5/6
目标：合并两项得到幂级数展开式
$f(x) = \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x+1} = -\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-1)^n}{2^{n+1}} - \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(x-1)^n}{2^{n+1}} = -\sum_{n=0}^\infty \frac{1+(-1)^n}{2^{n+1}} (x-1)^n$。当 $n$ 为奇数时，$1+(-1)^n=0$；当 $n$ 为偶数时，设 $n=2k$，则 $1+(-1)^{2k}=2$，所以 $f(x) = -\sum_{k=0}^\infty \frac{2}{2^{2k+1}} (x-1)^{2k} = -\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2^{2k}} (x-1)^{2k} = -\sum_{k=0}^\infty \frac{(x-1)^{2k}}{4^k}$。
公式：$f(x) = -\sum_{n=0}^\infty \frac{(x-1)^{2n}}{4^n}$
提示：合并时注意奇偶项消去，最终只保留偶数次幂。
步骤 6/6
目标：确定收敛域
由几何级数的收敛条件 $|x-1|<2$ 可得收敛域为 $|x-1|<2$。
公式：$|x-1|<2$
提示：收敛域由展开过程中所有几何级数的公共收敛区间决定。
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