华南师范大学 2025年数学分析第0题
📝 题目
4．（10 分）设在矩形区域 $D=[a, b] \times[c, d]$ 上，$F(x, y)$ 关于 $x$ 连续，$F_{y}(x, y)$ 存在且有界．证明：$F(x, y)$ 在 $D$ 上连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件和证明目标
设矩形区域 $D=[a,b]\times[c,d]$。已知：(1) 对每个固定的 $y$，$F(x,y)$ 关于 $x$ 连续；(2) 偏导数 $F_y(x,y)$ 在 $D$ 上存在且有界，即存在常数 $M>0$，使得对所有 $(x,y)\in D$，有 $|F_y(x,y)|\le M$。要证明 $F(x,y)$ 在 $D$ 上连续，即对任意 $(x_0,y_0)\in D$ 和任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$，当 $|x-x_0|<\delta$ 且 $|y-y_0|<\delta$ 时，$|F(x,y)-F(x_0,y_0)|<\varepsilon$。
公式：|F_y(x,y)|\le M
提示：注意偏导有界是全局条件，不是仅在一点成立。
步骤 2/5
目标：利用拉格朗日中值定理控制y方向的变化
对固定的 $x$，考虑函数 $F(x,y)$ 关于 $y$ 的变化。由拉格朗日中值定理，存在介于 $y$ 与 $y_0$ 之间的 $\xi$，使得 $|F(x,y)-F(x,y_0)| = |F_y(x,\xi)|\cdot|y-y_0|$。再由偏导有界条件 $|F_y(x,\xi)|\le M$，得到 $|F(x,y)-F(x,y_0)|\le M|y-y_0|$。
公式：|F(x,y)-F(x,y_0)|\le M|y-y_0|
提示：拉格朗日中值定理要求函数关于y可导，这里由条件保证。
步骤 3/5
目标：利用关于x的连续性控制x方向的变化
由于 $F(x,y_0)$ 关于 $x$ 连续（固定 $y_0$），对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta_1>0$，当 $|x-x_0|<\delta_1$ 时，有 $|F(x,y_0)-F(x_0,y_0)|<\frac{\varepsilon}{2}$。
公式：|F(x,y_0)-F(x_0,y_0)|<\frac{\varepsilon}{2}
提示：这里 $\delta_1$ 依赖于 $y_0$ 和 $\varepsilon$，但由连续性保证存在性。
步骤 4/5
目标：结合两个方向，利用三角不等式估计整体差值
对任意点 $(x,y)$，由三角不等式：$|F(x,y)-F(x_0,y_0)|\le |F(x,y)-F(x,y_0)| + |F(x,y_0)-F(x_0,y_0)|$。代入前两步的结果，得到 $|F(x,y)-F(x_0,y_0)|\le M|y-y_0| + \frac{\varepsilon}{2}$（当 $|x-x_0|<\delta_1$ 时）。
公式：|F(x,y)-F(x_0,y_0)|\le M|y-y_0| + \frac{\varepsilon}{2}
提示：三角不等式是连接两个方向估计的关键。
步骤 5/5
目标：选取合适的δ并完成证明
取 $\delta = \min\left(\delta_1,\ \frac{\varepsilon}{2M}\right)$。则当 $|x-x_0|<\delta$ 且 $|y-y_0|<\delta$ 时，有 $|F(x,y)-F(x_0,y_0)|\le M\cdot\frac{\varepsilon}{2M} + \frac{\varepsilon}{2} = \varepsilon$。由连续性定义，$F(x,y)$ 在 $(x_0,y_0)$ 连续，由 $(x_0,y_0)$ 的任意性，$F(x,y)$ 在 $D$ 上连续。
公式：\delta = \min\left(\delta_1,\ \frac{\varepsilon}{2M}\right)
提示：注意δ必须同时满足x方向和y方向的条件，取最小值保证两者都成立。
步骤 6/6
目标：得出结论
由 $(x_0,y_0)$ 的任意性，$F(x,y)$ 在 $D$ 上每一点都连续，因此 $F(x,y)$ 在 $D$ 上连续。
提示：闭矩形区域上的连续性是整体性质，逐点证明即可。
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