华南师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1． $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt{n}\left(\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n+1}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析极限形式
当 $n \to \infty$ 时，$\sqrt{n^2+1}$ 和 $\sqrt{n+1}$ 都趋向无穷，但它们的差可能趋于0，外面再乘上 $\sqrt{n}$，需要判断极限是否存在。
公式：\lim_{n \to \infty} \sqrt{n}\left(\sqrt{n^{2}+1}-\sqrt{n+1}\right)
提示：注意观察无穷大减无穷大的形式，通常需要有理化处理。
步骤 2/6
目标：有理化处理根号差
设 $A = \sqrt{n^2+1} - \sqrt{n+1}$，分子分母同乘共轭式：
$$
A = \frac{(\sqrt{n^2+1} - \sqrt{n+1})(\sqrt{n^2+1} + \sqrt{n+1})}{\sqrt{n^2+1} + \sqrt{n+1}} = \frac{(n^2+1) - (n+1)}{\sqrt{n^2+1} + \sqrt{n+1}}
$$
分子化简得 $n^2 - n = n(n-1)$，所以
$$
A = \frac{n(n-1)}{\sqrt{n^2+1} + \sqrt{n+1}}
$$
公式：\sqrt{n^2+1} - \sqrt{n+1} = \frac{n(n-1)}{\sqrt{n^2+1} + \sqrt{n+1}}
提示：有理化时注意符号，分子是平方差公式，不要遗漏分母。
步骤 3/6
目标：乘上外面的根号并化简表达式
原极限表达式变为：
$$
\sqrt{n} \cdot A = \frac{\sqrt{n} \cdot n(n-1)}{\sqrt{n^2+1} + \sqrt{n+1}} = \frac{n^{3/2}(n-1)}{\sqrt{n^2+1} + \sqrt{n+1}}
$$
即
$$
\frac{n^{5/2} - n^{3/2}}{\sqrt{n^2+1} + \sqrt{n+1}}
$$
公式：\sqrt{n}\left(\sqrt{n^2+1}-\sqrt{n+1}\right) = \frac{n^{5/2} - n^{3/2}}{\sqrt{n^2+1} + \sqrt{n+1}}
提示：注意指数运算：$\sqrt{n} \cdot n = n^{3/2}$，再乘 $n$ 得 $n^{5/2}$。
步骤 4/6
目标：分析分母的主部
当 $n$ 很大时，分母中 $\sqrt{n^2+1} \sim n$，$\sqrt{n+1} \sim \sqrt{n}$，所以分母的主部为 $n + \sqrt{n}$。更精确地，利用泰勒展开：
$$
\sqrt{n^2+1} = n\sqrt{1+\frac{1}{n^2}} = n\left(1 + \frac{1}{2n^2} - \frac{1}{8n^4} + \cdots\right)
$$
$$
\sqrt{n+1} = \sqrt{n}\sqrt{1+\frac{1}{n}} = \sqrt{n}\left(1 + \frac{1}{2n} - \frac{1}{8n^2} + \cdots\right)
$$
因此分母 $\sim n + \sqrt{n}$。
公式：\sqrt{n^2+1} + \sqrt{n+1} \sim n + \sqrt{n} \quad (n \to \infty)
提示：分母中 $n$ 是主要项，$\sqrt{n}$ 是次要项，但不可忽略，因为分子增长更快。
步骤 5/6
目标：比较分子分母的量级
分子为 $n^{5/2} - n^{3/2}$，分母 $\sim n + \sqrt{n}$。分子最高次项为 $n^{5/2}$，分母最高次项为 $n$，因此比值量级为 $\frac{n^{5/2}}{n} = n^{3/2} \to \infty$。为严格计算，分子分母同除以 $n^{3/2}$：
$$
\frac{n^{5/2} - n^{3/2}}{n + \sqrt{n}} = \frac{n - 1}{\frac{1}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n}}
$$
当 $n \to \infty$，分子 $\to \infty$，分母 $\to 0^+$，所以极限为 $+\infty$。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{n^{5/2} - n^{3/2}}{n + \sqrt{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n - 1}{\frac{1}{\sqrt{n}} + \frac{1}{n}} = +\infty
提示：除以 $n^{3/2}$ 是为了让分母趋于0，分子趋于无穷，从而判断发散。
步骤 6/6
目标：数值验证
取 $n=100$：$\sqrt{100}=10$，$\sqrt{10000+1}\approx 100.005$，$\sqrt{101}\approx 10.0499$，差约为 $89.9551$，乘10得约 $899.55$。取 $n=1000$ 时值更大，确认发散到无穷。
提示：数值验证可以帮助确认极限趋势，但不能代替严格证明。
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