华南师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2． $\lim _{n \rightarrow \infty} n(\sqrt[n]{a}-1) \quad(a>0)$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将根号形式转化为指数形式
将 $\sqrt[n]{a}$ 写为 $a^{1/n}$，则原极限变为 $\lim_{n \to \infty} n (a^{1/n} - 1)$。
公式：$\sqrt[n]{a} = a^{1/n}$
提示：注意 $a>0$，保证指数运算有意义。
步骤 2/4
目标：变量替换
令 $x = \frac{1}{n}$，则当 $n \to \infty$ 时，$x \to 0^+$。极限化为 $\lim_{x \to 0^+} \frac{a^x - 1}{x}$。
公式：$x = \frac{1}{n}$
提示：注意 $x$ 趋近于 $0^+$，但极限结果与方向无关。
步骤 3/4
目标：利用导数定义求极限
极限 $\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x}$ 正是指数函数 $a^x$ 在 $x=0$ 处的导数。由 $a^x = e^{x \ln a}$，求导得 $a^x \ln a$，在 $x=0$ 处值为 $\ln a$。因此极限为 $\ln a$。
公式：$\lim_{x \to 0} \frac{a^x - 1}{x} = \ln a$
提示：也可以使用等价无穷小：$a^x - 1 \sim x \ln a$（当 $x \to 0$）。
步骤 4/4
目标：得出结论
原极限 $\lim_{n \to \infty} n(\sqrt[n]{a} - 1) = \ln a$。
公式：$\boxed{\ln a}$
提示：结果与 $a$ 有关，当 $a=1$ 时极限为 $0$，与 $\ln 1 = 0$ 一致。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
因此原极限 $\lim_{n \to \infty} n(\sqrt[n]{a}-1) = \ln a$。
公式：$\lim_{n \to \infty} n(\sqrt[n]{a}-1) = \ln a$
提示：结果与 $a$ 有关，当 $a=1$ 时极限为 $0$，符合 $\ln 1=0$。
步骤 6/6
目标：回代得到原极限结果
由变量替换 $x = 1/n$，原极限 $\lim_{n \to \infty} n(\sqrt[n]{a} - 1) = \ln a$。
公式：$\lim_{n \to \infty} n(\sqrt[n]{a} - 1) = \ln a$
提示：最终结果与 $a$ 的自然对数有关，$a>0$ 时恒成立。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。