华南师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
3． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{\cos x}-\sqrt{1+x \arctan x}}{2 x^{2}}$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别极限类型并确定方法
当 $x \to 0$ 时，分子 $\sqrt{\cos x} - \sqrt{1 + x \arctan x} \to 0$，分母 $2x^2 \to 0$，因此是 $\frac{0}{0}$ 型未定式。考虑使用泰勒展开（或等价无穷小）处理。
公式：$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{\cos x} - \sqrt{1 + x \arctan x}}{2x^2}$$
提示：注意分子是两个根号相减，直接代入会得到 $0-0=0$，分母也为0，必须展开到足够阶数。
步骤 2/5
目标：展开 $\sqrt{\cos x}$ 到 $x^2$ 项
首先展开 $\cos x$：$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)$。令 $u = -\frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)$，利用 $(1+u)^{1/2} = 1 + \frac{u}{2} - \frac{u^2}{8} + \cdots$，取到 $x^2$ 项：$\sqrt{\cos x} = 1 + \frac{1}{2}\left(-\frac{x^2}{2}\right) + O(x^4) = 1 - \frac{x^2}{4} + O(x^4)$。
公式：$$\sqrt{\cos x} = 1 - \frac{x^2}{4} + O(x^4)$$
提示：展开时注意 $u$ 中 $x^2$ 项是主要项，$x^4$ 项在平方根展开中会贡献到 $O(x^4)$，但当前只需到 $x^2$ 项。
步骤 3/5
目标：展开 $\sqrt{1 + x \arctan x}$ 到 $x^2$ 项
先展开 $\arctan x$：$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} + O(x^7)$，则 $x \arctan x = x^2 - \frac{x^4}{3} + O(x^6)$。令 $v = x^2 - \frac{x^4}{3} + O(x^6)$，利用 $(1+v)^{1/2} = 1 + \frac{v}{2} - \frac{v^2}{8} + \cdots$，取到 $x^2$ 项：$\sqrt{1 + x \arctan x} = 1 + \frac{x^2}{2} + O(x^4)$。
公式：$$\sqrt{1 + x \arctan x} = 1 + \frac{x^2}{2} + O(x^4)$$
提示：注意 $v$ 中 $x^2$ 项系数为1，$x^4$ 项在平方根展开中会与 $v^2$ 项抵消一部分，但此处只需到 $x^2$ 项。
步骤 4/5
目标：计算分子并化简
分子为 $\sqrt{\cos x} - \sqrt{1 + x \arctan x} = \left(1 - \frac{x^2}{4} + O(x^4)\right) - \left(1 + \frac{x^2}{2} + O(x^4)\right) = -\frac{3x^2}{4} + O(x^4)$。
公式：$$\sqrt{\cos x} - \sqrt{1 + x \arctan x} = -\frac{3}{4}x^2 + O(x^4)$$
提示：注意 $O(x^4)$ 项相减后仍为 $O(x^4)$，不影响 $x^2$ 项系数。
步骤 5/5
目标：代入极限并求值
原极限 $\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{3}{4}x^2 + O(x^4)}{2x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{3}{4} + O(x^2)}{2} = -\frac{3}{8}$。
公式：$$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{3}{4}x^2 + O(x^4)}{2x^2} = -\frac{3}{8}$$
提示：当 $x \to 0$ 时，$O(x^2) \to 0$，因此极限由 $x^2$ 项系数决定。
步骤 6/7
目标：计算极限
因此
$$\lim_{x\to 0}\frac{\cos x-1-x\arctan x}{x^2} = \lim_{x\to 0}\frac{-\frac{3}{2}x^2 + o(x^2)}{x^2} = -\frac{3}{2}.$$
公式：$\lim_{x\to 0}\frac{o(x^2)}{x^2}=0$
提示：注意高阶无穷小除以 $x^2$ 极限为0。
步骤 7/7
目标：得出最终结果
原极限为 $\frac{1}{4} \times \left(-\frac{3}{2}\right) = -\frac{3}{8}$。
提示：不要忘记乘以之前提取的 $\frac{1}{4}$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。