华南师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
4． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} e^{-x}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别极限类型并取对数
当 $x \to +\infty$ 时，底数 $1+\frac{1}{x} \to 1$，指数 $x^2 \to +\infty$，属于 $1^\infty$ 型不定式。设 $L = \lim_{x \to +\infty} e^{-x}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^2}$，取自然对数得：
\[
\ln L = \lim_{x \to +\infty} \left[ -x + x^2 \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) \right]
\]
公式：\ln L = \lim_{x \to +\infty} \left[ -x + x^2 \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) \right]
提示：注意 $1^\infty$ 型不定式通常通过取对数转化为 $0 \cdot \infty$ 型，再使用展开或洛必达法则。
步骤 2/4
目标：展开对数函数
令 $t = \frac{1}{x}$，则当 $x \to +\infty$ 时 $t \to 0^+$。利用 $\ln(1+t)$ 的麦克劳林展开：
\[
\ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \frac{t^4}{4} + \cdots
\]
代入 $t = \frac{1}{x}$ 得：
\[
\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} - \frac{1}{4x^4} + \cdots
\]
公式：\ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} - \frac{1}{4x^4} + O\left(\frac{1}{x^5}\right)
提示：展开到 $\frac{1}{x^2}$ 项即可，因为后续乘以 $x^2$ 后 $\frac{1}{x^3}$ 项趋于0。
步骤 3/4
目标：代入并化简对数表达式
将展开式代入 $x^2 \ln\left(1+\frac{1}{x}\right)$：
\[
x^2 \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = x^2 \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{2x^2} + \frac{1}{3x^3} - \cdots \right) = x - \frac{1}{2} + \frac{1}{3x} - \cdots
\]
于是：
\[
-x + x^2 \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = -x + \left( x - \frac{1}{2} + \frac{1}{3x} - \cdots \right) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{3x} - \cdots
\]
公式：-x + x^2 \ln\left(1+\frac{1}{x}\right) = -\frac{1}{2} + \frac{1}{3x} - \frac{1}{4x^2} + \cdots
提示：注意 $x$ 项恰好抵消，保留常数项 $ -\frac{1}{2}$，其余项当 $x \to +\infty$ 时趋于0。
步骤 4/4
目标：求极限并还原原函数
取极限 $x \to +\infty$，高阶项 $\frac{1}{3x}, \frac{1}{4x^2}, \cdots$ 均趋于0，因此：
\[
\ln L = -\frac{1}{2}
\]
两边取指数得：
\[
L = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}
\]
公式：L = e^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{e}}
提示：取对数后极限为常数，直接指数还原即可，注意 $e^{-1/2}$ 也可写作 $\frac{1}{\sqrt{e}}$。
步骤 5/5
目标：还原原极限并写出答案
由 $\ln L = -\frac{1}{2}$，得 $L = e^{-1/2}$。因此原极限为 $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} e^{-x}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}} = e^{-\frac{1}{2}}$。
公式：$L = e^{-\frac{1}{2}}$
提示：最终结果需化简为 $\frac{1}{\sqrt{e}}$ 或 $e^{-1/2}$，注意指数符号。
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