华南师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
5． $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(+\infty,+\infty)}\left(1+\frac{1}{x y}\right)^{x \sin y}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：改写极限形式，利用重要极限
原极限为 $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(+\infty,+\infty)}\left(1+\frac{1}{xy}\right)^{x\sin y}$。注意到当 $x,y\to+\infty$ 时，$xy\to+\infty$，因此可借助重要极限 $\lim_{n\to\infty}(1+1/n)^n=e$，将原式改写为：
$$
\left(1+\frac{1}{xy}\right)^{x\sin y} = \left[\left(1+\frac{1}{xy}\right)^{xy}\right]^{\frac{\sin y}{y}}.
$$
公式：$\left(1+\frac{1}{xy}\right)^{x\sin y} = \left[\left(1+\frac{1}{xy}\right)^{xy}\right]^{\frac{\sin y}{y}}$
提示：注意底数部分 $xy$ 趋于无穷，但指数部分 $x\sin y$ 不能直接与 $xy$ 配对，需通过恒等变形处理。
步骤 2/5
目标：分析内层极限
令 $A = \left(1+\frac{1}{xy}\right)^{xy}$，由于 $xy\to+\infty$，由重要极限知 $A \to e$。因此原式在形式上趋近于 $e^{\frac{\sin y}{y}}$。但需注意，此处的 $y$ 仍随路径变化，需进一步分析 $\frac{\sin y}{y}$ 的极限。
公式：$\lim_{xy\to+\infty}\left(1+\frac{1}{xy}\right)^{xy}=e$
提示：这里只是形式上的替换，实际极限需考虑 $y$ 的振荡，不能直接认为整体极限为 $e^0$。
步骤 3/5
目标：判断 $\frac{\sin y}{y}$ 的极限
当 $y\to+\infty$ 时，由于 $|\sin y|\le 1$，有 $-\frac{1}{y}\le \frac{\sin y}{y}\le \frac{1}{y}$。由夹逼定理，$\lim_{y\to+\infty}\frac{\sin y}{y}=0$。因此指数部分趋向于 $0$，初步猜测极限为 $e^0=1$。
公式：$\lim_{y\to+\infty}\frac{\sin y}{y}=0$
提示：夹逼定理适用于 $y$ 单独趋于无穷，但本题中 $x,y$ 同时趋于无穷，需验证沿任意路径均成立。
步骤 4/5
目标：考虑不同路径验证极限一致性
取路径一：$y=x$，则原式化为 $\left(1+\frac{1}{x^2}\right)^{x\sin x}$。取对数得 $x\sin x\cdot\ln(1+1/x^2)\sim x\sin x\cdot\frac{1}{x^2}=\frac{\sin x}{x}\to 0$，故极限为 $1$。
取路径二：$y=2\pi n+\frac{\pi}{2}$（$\sin y=1$），则原式为 $\left(1+\frac{1}{xy}\right)^x$，取对数得 $x\ln(1+1/(xy))\sim x\cdot\frac{1}{xy}=\frac{1}{y}\to 0$，极限仍为 $1$。
取路径三：$y=2\pi n-\frac{\pi}{2}$（$\sin y=-1$），则原式为 $\left(1+\frac{1}{xy}\right)^{-x}$，取对数得 $-x\ln(1+1/(xy))\sim -\frac{1}{y}\to 0$，极限仍为 $1$。
公式：$\ln(1+u)\sim u$ 当 $u\to 0$
提示：不同路径下 $\sin y$ 的振荡被 $\frac{1}{y}$ 因子抵消，因此极限一致。
步骤 5/5
目标：严格证明极限为1
取自然对数：$L = \lim_{(x,y)\to(+\infty,+\infty)} x\sin y\cdot\ln\left(1+\frac{1}{xy}\right)$。当 $xy$ 很大时，利用泰勒展开：$\ln(1+\frac{1}{xy}) = \frac{1}{xy} + O\left(\frac{1}{x^2y^2}\right)$。代入得：
$$
x\sin y\cdot\ln\left(1+\frac{1}{xy}\right) = \frac{\sin y}{y} + O\left(\frac{|\sin y|}{x y^2}\right).
$$
由于 $|\sin y|\le 1$，第二项 $\frac{|\sin y|}{x y^2}\le \frac{1}{x y^2}\to 0$，第一项 $\frac{\sin y}{y}\to 0$，因此 $L=0$，原极限为 $e^0=1$。
公式：$\ln(1+u)=u+O(u^2)$ 当 $u\to 0$
提示：注意展开的余项需确保一致收敛，此处由于 $|\sin y|$ 有界，可保证余项趋于0。
步骤 6/7
目标：还原原极限
由 $\ln L \to 0$ 得 $L \to e^0 = 1$，即 $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(+\infty,+\infty)} \left(1+\frac{1}{xy}\right)^{x\sin y}=1$。
公式：$\lim L = e^{\lim \ln L}$
提示：注意 $e^0=1$，但需确认 $\ln L$ 的极限确实为0。
步骤 7/7
目标：验证路径一致性
考虑特殊路径：取 $y=n\pi$，则 $\sin y=0$，极限为 $1$；取 $y=2n\pi+\frac{\pi}{2}$，则 $\sin y=1$，极限为 $e^{1/y}\to 1$；取 $y=x$，则极限为 $e^{\sin x/x}\to 1$。所有路径均趋于1。
提示：虽然 $\sin y$ 振荡，但除以 $y$ 后趋于0，故极限唯一。
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