华南师范大学 2026年数学分析第0题

函数在 $(0,0)$ 处连续，需满足 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = f(0,0)=0$。当 $(x,y)\neq(0,0)$ 时，$|f(x,y)| = (x^2+y^2)^\alpha \left|\sin\frac{1}{x^2+y^2}\right| \le (x^2+y^2)^\alpha$。若 $\alpha>0$，则 $(x^2+y^2)^\alpha \to 0$，由夹逼定理得极限为0，连续；若 $\alpha=0$，则 $|f(x,y)|=|\sin(1/(x^2+y^2))|$ 在0和1之间振荡，不趋于0；若 $\alpha<0$，则 $(x^2+y^2)^\alpha \to +\infty$，正弦项振荡，极限不存在。因此连续性要求 $\alpha>0$。

由偏导数定义：$f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}$。当 $h\neq0$ 时，$f(h,0)=(h^2)^\alpha \sin\frac{1}{h^2}=|h|^{2\alpha}\sin\frac{1}{h^2}$，差商为 $\frac{|h|^{2\alpha}\sin(1/h^2)}{h}=|h|^{2\alpha-1}\cdot\frac{h}{|h|}\cdot\sin\frac{1}{h^2}$。其绝对值不超过 $|h|^{2\alpha-1}$。若 $2\alpha-1>0$ 即 $\alpha>\frac12$，则 $|h|^{2\alpha-1}\to0$，差商趋于0，偏导存在且为0；若 $2\alpha-1=0$ 即 $\alpha=\frac12$，则差商为 $\pm\sin(1/h^2)$，振荡不收敛；若 $2\alpha-1<0$ 即 $\alpha<\frac12$，则 $|h|^{2\alpha-1}\to\infty$，差商无界。故 $f_x(0,0)$ 存在要求 $\alpha>\frac12$。由对称性，$f_y(0,0)$ 条件相同。

由第一步，连续性要求 $\alpha>0$。

由第二步，偏导数存在要求 $\alpha>\frac12$。

函数在原点处连续时，$\alpha>0$；在原点处偏导数存在时，$\alpha>\frac12$。偏导数存在时自然连续，但连续时不一定偏导数存在。

由上述分析，$f_x(0,0)$ 存在当且仅当 $\alpha>\frac12$。由对称性，$f_y(0,0)$ 存在条件相同。因此偏导数存在时 $\alpha$ 的取值范围是 $\alpha>\frac12$。

连续条件：$\alpha>0$；偏导数存在条件：$\alpha>\frac12$。题目要求分别讨论，故给出各自范围。若问同时满足，则取交集得 $\alpha>\frac12$。