华南师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
1．计算定积分 $\int_{0}^{100 \pi} \sqrt{1-\cos 2 x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简被积函数
利用三角恒等式 $1-\cos 2x = 2\sin^2 x$，则 $\sqrt{1-\cos 2x} = \sqrt{2\sin^2 x} = \sqrt{2} |\sin x|$。注意平方根结果非负，必须加绝对值。
公式：$1-\cos 2x = 2\sin^2 x$
提示：不要忘记绝对值符号，否则会出错。
步骤 2/5
目标：将原积分转化为含绝对值的积分
原积分化为 $\int_{0}^{100\pi} \sqrt{1-\cos 2x} \, dx = \sqrt{2} \int_{0}^{100\pi} |\sin x| \, dx$。
公式：$\int_{0}^{100\pi} \sqrt{1-\cos 2x} \, dx = \sqrt{2} \int_{0}^{100\pi} |\sin x| \, dx$
提示：系数 $\sqrt{2}$ 可以提到积分号外。
步骤 3/5
目标：计算一个周期内 $|\sin x|$ 的积分
由于 $\sin x$ 在 $[0,\pi]$ 上非负，故 $|\sin x| = \sin x$。计算 $\int_{0}^{\pi} \sin x \, dx = [-\cos x]_{0}^{\pi} = (-\cos\pi) - (-\cos 0) = 1 + 1 = 2$。
公式：$\int_{0}^{\pi} |\sin x| \, dx = 2$
提示：注意 $\cos\pi = -1$，$\cos 0 = 1$，代入时要仔细。
步骤 4/5
目标：利用周期性计算整个区间积分
$|\sin x|$ 的周期为 $\pi$，区间 $[0,100\pi]$ 包含 $100$ 个完整周期，因此 $\int_{0}^{100\pi} |\sin x| \, dx = 100 \times \int_{0}^{\pi} |\sin x| \, dx = 100 \times 2 = 200$。
公式：$\int_{0}^{100\pi} |\sin x| \, dx = 100 \times 2 = 200$
提示：确保周期长度正确，$|\sin x|$ 的周期是 $\pi$ 而非 $2\pi$。
步骤 5/5
目标：乘以系数得到最终结果
将 $\sqrt{2}$ 乘上 $200$，得 $\sqrt{2} \times 200 = 200\sqrt{2}$。
公式：$\sqrt{2} \times 200 = 200\sqrt{2}$
提示：最终答案要化简为最简形式。
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