华南师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．计算 $\iint_{D} \sqrt{1-\sin ^{2}(x+y)} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \mid 0 \leq y \leq x, 0 \leq x \leq \frac{\pi}{2}\right\}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：化简被积函数
利用三角恒等式 $1 - \sin^2(x+y) = \cos^2(x+y)$，则 $\sqrt{1 - \sin^2(x+y)} = \sqrt{\cos^2(x+y)} = |\cos(x+y)|$。
公式：$1 - \sin^2\theta = \cos^2\theta$
提示：注意开平方后要加绝对值，需根据区域判断符号。
步骤 2/6
目标：分析区域并划分积分区域
区域 $D: 0 \le y \le x \le \frac{\pi}{2}$，则 $x+y$ 的范围为 $[0,\pi]$。直线 $x+y = \frac{\pi}{2}$ 将 $D$ 分为两部分：
- $D_1: 0 \le x \le \frac{\pi}{4}, 0 \le y \le x$，此时 $x+y \le \frac{\pi}{2}$，$\cos(x+y) \ge 0$；
- $D_2$ 再分为：
- $D_{2a}: \frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{2}, 0 \le y \le \frac{\pi}{2} - x$，$\cos(x+y) \ge 0$；
- $D_{2b}: \frac{\pi}{4} \le x \le \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} - x \le y \le x$，$\cos(x+y) \le 0$，此时 $|\cos(x+y)| = -\cos(x+y)$。
公式：$x+y = \frac{\pi}{2}$ 为分界线
提示：注意 $y \le x$ 的限制，确保分界点 $x = \frac{\pi}{4}$ 正确。
步骤 3/6
目标：计算区域 D1 上的积分
$$I_1 = \int_{0}^{\pi/4} \int_{0}^{x} \cos(x+y) \,dy\,dx$$
内层积分：$\int_0^x \cos(x+y)\,dy = \sin(x+y)\big|_{y=0}^{x} = \sin 2x - \sin x$。
外层积分：
$$I_1 = \int_0^{\pi/4} (\sin 2x - \sin x)\,dx = \left[-\frac{\cos 2x}{2} + \cos x\right]_0^{\pi/4} = \left(0 + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) - \left(-\frac{1}{2} + 1\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2}.$$
公式：$\int \cos(ax+b)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax+b)$
提示：注意积分上下限的代入，避免符号错误。
步骤 4/6
目标：计算区域 D2a 上的积分
$$I_{2a} = \int_{\pi/4}^{\pi/2} \int_{0}^{\pi/2 - x} \cos(x+y)\,dy\,dx$$
内层积分：$\int_0^{\pi/2 - x} \cos(x+y)\,dy = \sin(x+y)\big|_{0}^{\pi/2 - x} = \sin(\pi/2) - \sin x = 1 - \sin x$。
外层积分：
$$I_{2a} = \int_{\pi/4}^{\pi/2} (1 - \sin x)\,dx = \left[x + \cos x\right]_{\pi/4}^{\pi/2} = \left(\frac{\pi}{2} + 0\right) - \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2}\right) = \frac{\pi}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2}.$$
公式：$\int (1 - \sin x)\,dx = x + \cos x$
提示：注意 $\sin(\pi/2)=1$，代入时小心。
步骤 5/6
目标：计算区域 D2b 上的积分
$$I_{2b} = \int_{\pi/4}^{\pi/2} \int_{\pi/2 - x}^{x} (-\cos(x+y))\,dy\,dx$$
内层积分：$\int_{\pi/2 - x}^{x} -\cos(x+y)\,dy = -[\sin(x+y)]_{\pi/2 - x}^{x} = -(\sin 2x - 1) = 1 - \sin 2x$。
外层积分：
$$I_{2b} = \int_{\pi/4}^{\pi/2} (1 - \sin 2x)\,dx = \left[x + \frac{\cos 2x}{2}\right]_{\pi/4}^{\pi/2} = \left(\frac{\pi}{2} + \frac{\cos \pi}{2}\right) - \left(\frac{\pi}{4} + \frac{\cos(\pi/2)}{2}\right) = \left(\frac{\pi}{2} - \frac{1}{2}\right) - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}.$$
公式：$\int \sin 2x\,dx = -\frac{\cos 2x}{2}$
提示：注意负号的处理，以及 $\cos \pi = -1$。
步骤 6/6
目标：求和得到最终结果
将三部分积分相加：
$$I = I_1 + I_{2a} + I_{2b} = \left(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{\pi}{4} - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) + \left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{2} - 1.$$
公式：合并同类项：$\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$，$\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$，$-\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = -1$
提示：检查是否有抵消项，确保计算准确。
步骤 7/8
目标：计算 $I_2$ 的值
计算：
$\int_{\pi/4}^{\pi/2} 1 \, dx = \frac{\pi}{4}$，
$\int_{\pi/4}^{\pi/2} \sin 2x \, dx = \frac{1}{2}$。
所以 $I_2 = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$。
公式：$I_2 = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$
提示：注意 $\int \sin 2x \, dx$ 的积分结果。
步骤 8/8
目标：合并结果得到最终积分值
原积分 $I = I_1 + I_2 = \left(-\frac{1}{2} + \frac{\pi}{4}\right) + \left(\frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{2} - 1$。
公式：$\iint_D \sqrt{1-\sin^2(x+y)} \, dx \, dy = \frac{\pi}{2} - 1$
提示：最终结果化简为 $\frac{\pi}{2} - 1$。
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