华南师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
3．已知 $\left\{\begin{array}{l}x=t^{2}+t, \\ y=\ln (1+t),\end{array} \quad\right.$ 求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ 与 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求一阶导数 dy/dx
参数方程下，一阶导数公式为 \(\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}\)。先分别求 \(x\) 和 \(y\) 对 \(t\) 的导数：\(\frac{dx}{dt} = 2t + 1\)，\(\frac{dy}{dt} = \frac{1}{1+t}\)。代入公式得 \(\frac{dy}{dx} = \frac{1/(1+t)}{2t+1} = \frac{1}{(1+t)(2t+1)}\)。
公式：\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}
提示：注意分母不能为零，即 \(t \neq -1\) 且 \(t \neq -1/2\)。
步骤 2/4
目标：准备求二阶导数 d²y/dx²
二阶导数公式为 \(\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \Big/ \frac{dx}{dt}\)。先对一阶导数关于 \(t\) 求导。设 \(f(t) = (1+t)(2t+1) = 2t^2 + 3t + 1\)，则 \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{f(t)}\)。
公式：\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \Big/ \frac{dx}{dt}
提示：不要忘记除以 \(dx/dt\)，这是参数方程求二阶导的关键。
步骤 3/4
目标：求 d/dt(dy/dx)
由 \(\frac{dy}{dx} = \frac{1}{f(t)}\)，得 \(\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) = -\frac{f'(t)}{[f(t)]^2}\)。计算 \(f'(t) = 4t + 3\)，代入得 \(\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) = -\frac{4t+3}{((1+t)(2t+1))^2}\)。
公式：\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{f(t)}\right) = -\frac{f'(t)}{f(t)^2}
提示：求导时注意符号，负号容易遗漏。
步骤 4/4
目标：计算二阶导数 d²y/dx²
将上一步结果除以 \(\frac{dx}{dt} = 2t+1\)，得到 \(\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{-\frac{4t+3}{((1+t)(2t+1))^2}}{2t+1} = -\frac{4t+3}{(1+t)^2 (2t+1)^3}\)。
公式：\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{4t+3}{(1+t)^2(2t+1)^3}
提示：化简时注意分母的指数：\((2t+1)^2\) 再乘一个 \((2t+1)\) 得 \((2t+1)^3\)。
步骤 5/6
目标：代入公式求二阶导数
将上一步结果除以 \(\frac{dx}{dt} = 2t+1\)：
\[\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{-\frac{4t+3}{((1+t)(2t+1))^2}}{2t+1} = -\frac{4t+3}{(1+t)^2 (2t+1)^3}.\]
公式：\[\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{4t+3}{(1+t)^2(2t+1)^3}\]
提示：化简时注意 \((2t+1)^2 \cdot (2t+1) = (2t+1)^3\)，不要漏掉指数。
步骤 6/6
目标：写出最终答案
一阶导数和二阶导数结果如下：
\[\boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(1+t)(2t+1)},\quad \frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{4t+3}{(1+t)^2(2t+1)^3}}\]
公式：最终答案
提示：检查定义域：\(t > -1\) 保证 \(\ln(1+t)\) 有意义，且分母不为零。
步骤 7/8
目标：化简二阶导数表达式
注意到 $2t^2+3t+1 = (2t+1)(t+1)$，代入：
\[\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{4t+3}{[(2t+1)(t+1)]^2 (2t+1)} = -\frac{4t+3}{(2t+1)^3 (t+1)^2}.\]
公式：因式分解：$2t^2+3t+1 = (2t+1)(t+1)$
提示：化简时注意指数运算，不要漏掉平方。
步骤 8/8
目标：写出最终答案
一阶导数：
\[\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(1+t)(2t+1)}.\]
二阶导数：
\[\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{4t+3}{(2t+1)^3 (t+1)^2}.\]
提示：最终答案应化简到最简形式，注意定义域：$t \neq -1$ 且 $t \neq -\frac{1}{2}$。
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