华南师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
4．已知 $\displaystyle u=f\left(x y, \frac{y}{x}\right)$ ，其中 $f$ 二阶可导，求 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}$ 与 $\displaystyle \frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入中间变量，明确函数结构
令 $\xi = xy$，$\eta = \frac{y}{x}$，则 $u = f(\xi, \eta)$。记 $f_1 = \frac{\partial f}{\partial \xi}$，$f_2 = \frac{\partial f}{\partial \eta}$，它们仍然是 $\xi, \eta$ 的函数。
公式：$\xi = xy,\quad \eta = \frac{y}{x}$
提示：注意 $f$ 是二元函数，$f_1$ 和 $f_2$ 仍然是中间变量的函数，不能直接视为常数。
步骤 2/5
目标：求一阶偏导数 $\frac{\partial u}{\partial x}$
由链式法则：$\frac{\partial u}{\partial x} = f_1 \cdot \frac{\partial \xi}{\partial x} + f_2 \cdot \frac{\partial \eta}{\partial x}$。计算 $\frac{\partial \xi}{\partial x} = y$，$\frac{\partial \eta}{\partial x} = -\frac{y}{x^2}$，代入得：$\frac{\partial u}{\partial x} = y f_1 - \frac{y}{x^2} f_2$。
公式：$\frac{\partial u}{\partial x} = y f_1 - \frac{y}{x^2} f_2$
提示：对 $\eta$ 求 $x$ 的偏导时，注意 $\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{y}{x}\right) = -\frac{y}{x^2}$，不要漏掉负号。
步骤 3/5
目标：准备求混合偏导 $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y}$，先对第一项 $y f_1$ 求 $y$ 的偏导
对 $y f_1$ 求 $y$ 的偏导：$\frac{\partial}{\partial y}(y f_1) = f_1 + y \cdot \frac{\partial f_1}{\partial y}$。由于 $f_1$ 是 $\xi, \eta$ 的函数，由链式法则：$\frac{\partial f_1}{\partial y} = f_{11} \cdot \frac{\partial \xi}{\partial y} + f_{12} \cdot \frac{\partial \eta}{\partial y}$，其中 $\frac{\partial \xi}{\partial y} = x$，$\frac{\partial \eta}{\partial y} = \frac{1}{x}$，所以 $\frac{\partial f_1}{\partial y} = x f_{11} + \frac{1}{x} f_{12}$。代入得：$\frac{\partial}{\partial y}(y f_1) = f_1 + xy f_{11} + \frac{y}{x} f_{12}$。
公式：$\frac{\partial}{\partial y}(y f_1) = f_1 + xy f_{11} + \frac{y}{x} f_{12}$
提示：注意 $f_{11}$ 表示 $f$ 先对第一个变量求偏导，再对第一个变量求偏导，不要混淆下标顺序。
步骤 4/5
目标：对第二项 $-\frac{y}{x^2} f_2$ 求 $y$ 的偏导
对 $-\frac{y}{x^2} f_2$ 求 $y$ 的偏导：$\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{y}{x^2} f_2\right) = -\frac{1}{x^2} f_2 - \frac{y}{x^2} \cdot \frac{\partial f_2}{\partial y}$。由链式法则：$\frac{\partial f_2}{\partial y} = f_{21} \cdot \frac{\partial \xi}{\partial y} + f_{22} \cdot \frac{\partial \eta}{\partial y} = x f_{21} + \frac{1}{x} f_{22}$。代入得：$-\frac{1}{x^2} f_2 - \frac{y}{x^2}\left(x f_{21} + \frac{1}{x} f_{22}\right) = -\frac{1}{x^2} f_2 - \frac{y}{x} f_{21} - \frac{y}{x^3} f_{22}$。
公式：$\frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{y}{x^2} f_2\right) = -\frac{1}{x^2} f_2 - \frac{y}{x} f_{21} - \frac{y}{x^3} f_{22}$
提示：注意 $f_2$ 对 $y$ 求导时，同样要用链式法则，不要忘记 $\frac{\partial \eta}{\partial y} = \frac{1}{x}$。
步骤 5/5
目标：合并两项结果，得到混合偏导
将两项结果相加：$\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \left(f_1 + xy f_{11} + \frac{y}{x} f_{12}\right) + \left(-\frac{1}{x^2} f_2 - \frac{y}{x} f_{21} - \frac{y}{x^3} f_{22}\right)$。由于 $f$ 二阶可导，偏导连续，所以 $f_{12} = f_{21}$，因此 $\frac{y}{x} f_{12} - \frac{y}{x} f_{21} = 0$。化简得：$\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = f_1 - \frac{1}{x^2} f_2 + xy f_{11} - \frac{y}{x^3} f_{22}$。
公式：$\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = f_1 - \frac{1}{x^2} f_2 + xy f_{11} - \frac{y}{x^3} f_{22}$
提示：利用 $f_{12}=f_{21}$ 消去交叉项是化简的关键，这依赖于二阶偏导的连续性。
步骤 6/6
目标：合并结果得到混合偏导
将第一项减去第二项：$\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = \left(f_\xi + xy f_{\xi\xi} + \frac{y}{x} f_{\xi\eta}\right) - \left(\frac{1}{x^2} f_\eta + \frac{y}{x} f_{\xi\eta} + \frac{y}{x^3} f_{\eta\eta}\right)$。其中 $\frac{y}{x} f_{\xi\eta}$ 项相消，得到 $\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = f_\xi + xy f_{\xi\xi} - \frac{1}{x^2} f_\eta - \frac{y}{x^3} f_{\eta\eta}$。
公式：$\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = f_\xi + xy f_{\xi\xi} - \frac{1}{x^2} f_\eta - \frac{y}{x^3} f_{\eta\eta}$
提示：注意检查同类项是否抵消，避免符号错误。
步骤 7/7
目标：写出最终结果
因此，
$$\frac{\partial u}{\partial x} = y f_v - \frac{y}{x^2} f_w,$$
$$\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} = f_v - \frac{1}{x^2} f_w + xy f_{vv} - \frac{y}{x^3} f_{ww}.$$
提示：最终结果中 $f_v, f_w, f_{vv}, f_{ww}$ 均为 $v=xy, w=\frac{y}{x}$ 的函数。
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