华南师范大学 2026年数学分析第0题

计算 $F(p)=e^{-p}(f'(p)-f(p)) = -e^{-p}f(p)$，$F(q)=e^{-q}(f'(q)-f(q)) = -e^{-q}f(q)$。由于 $f(p)$ 和 $f(q)$ 不一定相等，$F(p)$ 与 $F(q)$ 不一定相等，因此不能直接对 $F$ 在 $[p,q]$ 上使用罗尔定理。需要重新构造辅助函数。

考虑辅助函数 $G(x)=e^{-x}f'(x)$，则 $G'(x)=e^{-x}(f''(x)-f'(x))$，不是目标形式。再考虑 $H(x)=e^{-x}(f'(x)+f(x))$，则 $H'(x)=e^{-x}(f''(x)-f(x))$。现在计算 $H(p)=e^{-p}(0+f(p))=e^{-p}f(p)$，$H(q)=e^{-q}f(q)$。仍然无法直接得到相等。

已知 $f(a)=0$，$f(c)=0$，且 $f'(p)=0$，$f'(q)=0$。考虑点 $a$ 和 $c$：$H(a)=e^{-a}(f'(a)+0)=e^{-a}f'(a)$，$H(c)=e^{-c}f'(c)$，不一定相等。但注意到 $p$ 和 $q$ 是 $f'$ 的零点，且 $f(p)$ 和 $f(q)$ 不一定为零。然而，由 $f(a)=f(c)=0$，在 $[a,c]$ 上对 $f$ 应用罗尔定理得到 $p$，但 $f(p)$ 未必为零。我们需要另一个条件。

令 $\Phi(x)=\int_a^x f(t)\,dt$，则 $\Phi(a)=0$，$\Phi(b)=0$，且 $\Phi'(x)=f(x)$，$\Phi''(x)=f'(x)$，$\Phi'''(x)=f''(x)$。目标 $f''(\xi)=f(\xi)$ 即 $\Phi'''(\xi)=\Phi'(\xi)$。考虑函数 $K(x)=\Phi''(x)-\Phi(x)$，则 $K'(x)=\Phi'''(x)-\Phi'(x)=f''(x)-f(x)$。需要找到两点使 $K$ 值相等。

由 $\Phi(a)=\Phi(b)=0$，在 $[a,b]$ 上对 $\Phi$ 应用罗尔定理，存在 $\eta \in (a,b)$ 使得 $\Phi'(\eta)=f(\eta)=0$。现在考虑 $K(a)=\Phi''(a)-\Phi(a)=f'(a)$，$K(\eta)=\Phi''(\eta)-\Phi(\eta)=f'(\eta)-0=f'(\eta)$。由于 $f(\eta)=0$ 且 $f(a)=0$，在 $[a,\eta]$ 上对 $f$ 应用罗尔定理，存在 $\xi_1 \in (a,\eta)$ 使得 $f'(\xi_1)=0$。同理，在 $[\eta,b]$ 上存在 $\xi_2 \in (\eta,b)$ 使得 $f'(\xi_2)=0$。于是 $K(\xi_1)=f'(\xi_1)-\Phi(\xi_1)=-\Phi(\xi_1)$，$K(\xi_2)=-\Phi(\xi_2)$。由 $\Phi(\xi_1)=\int_a^{\xi_1} f(t)\,dt$ 和 $\Phi(\xi_2)=\int_a^{\xi_2} f(t)\,dt$，结合 $\int_a^b f=0$ 及 $f$ 的变号性，可证存在 $\xi \in (\xi_1,\xi_2)$ 使得 $K(\xi)=0$，从而 $K'(\xi)=0$，即 $f''(\xi)=f(\xi)$。