华南师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
2．设 $f_{n}(x)=n^{\alpha} x e^{-n x}$ ，求 $\alpha$ 的取值范围，使得函数列 $\left\{f_{n}(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收玫；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求逐点极限函数
固定任意 $x \in [0,1]$，考虑 $n \to \infty$ 时 $f_n(x) = n^\alpha x e^{-n x}$ 的极限。若 $x=0$，则 $f_n(0)=0$，极限为 $0$；若 $x>0$，指数项 $e^{-n x}$ 衰减速度远快于幂函数 $n^\alpha$ 的增长，故极限也为 $0$。因此逐点极限函数为 $f(x)=0$，$\forall x \in [0,1]$。
公式：\lim_{n\to\infty} f_n(x) = 0, \quad \forall x \in [0,1]
提示：注意 $x=0$ 需单独讨论，但结果一致。
步骤 2/6
目标：将一致收敛转化为上确界极限问题
函数列一致收敛到 $0$ 当且仅当 $\sup_{x\in[0,1]} |f_n(x)-0| = \sup_{x\in[0,1]} n^\alpha x e^{-n x} \to 0$（$n\to\infty$）。因此需要研究函数 $g_n(x)=n^\alpha x e^{-n x}$ 在 $[0,1]$ 上的最大值。
公式：\sup_{x\in[0,1]} |f_n(x)| = \sup_{x\in[0,1]} n^\alpha x e^{-n x}
提示：一致收敛的充要条件是最大值趋于零，而非仅逐点趋于零。
步骤 3/6
目标：求函数 $g_n(x)$ 在 $[0,1]$ 上的最大值点
对 $g_n(x)=n^\alpha x e^{-n x}$ 求导：$g_n'(x)=n^\alpha e^{-n x}(1-n x)$。令导数为 $0$，得 $1-nx=0$，即 $x=1/n$。由于 $1/n \in (0,1]$ 对足够大的 $n$ 成立，且导数符号变化表明该点为极大值点（也是最大值点）。
公式：g_n'(x)=n^\alpha e^{-n x}(1-n x), \quad x=\frac{1}{n} \text{ 为最大值点}
提示：注意 $n$ 较小时 $1/n$ 可能大于 $1$，但讨论极限时只需考虑 $n$ 充分大的情况。
步骤 4/6
目标：计算最大值表达式
将 $x=1/n$ 代入 $g_n(x)$：$g_n(1/n)=n^\alpha \cdot \frac{1}{n} \cdot e^{-n \cdot \frac{1}{n}} = n^{\alpha-1} e^{-1}$。因此 $\sup_{x\in[0,1]} |f_n(x)| = \frac{n^{\alpha-1}}{e}$。
公式：\sup_{x\in[0,1]} |f_n(x)| = \frac{n^{\alpha-1}}{e}
提示：计算时注意指数部分 $e^{-1}$ 是常数，不影响极限行为。
步骤 5/6
目标：根据极限为零确定 $\alpha$ 的范围
一致收敛要求 $\lim_{n\to\infty} \frac{n^{\alpha-1}}{e}=0$，即 $\lim_{n\to\infty} n^{\alpha-1}=0$。幂函数 $n^{\alpha-1}$ 趋于 $0$ 当且仅当指数 $\alpha-1<0$，即 $\alpha<1$。若 $\alpha=1$，则最大值为常数 $1/e$，不趋于 $0$；若 $\alpha>1$，则最大值趋于无穷，更不收敛。
公式：\lim_{n\to\infty} n^{\alpha-1}=0 \iff \alpha<1
提示：注意 $\alpha=1$ 时上确界为常数，不满足一致收敛定义。
步骤 6/6
目标：总结结论
当 $\alpha<1$ 时，函数列 $\{f_n(x)\}$ 在 $[0,1]$ 上一致收敛到 $0$；当 $\alpha \ge 1$ 时，不一致收敛。因此 $\alpha$ 的取值范围是 $(-\infty, 1)$。
公式：\alpha < 1
提示：边界 $\alpha=1$ 属于不一致收敛，不要遗漏。
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