华南师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
3．判断级数或反常积分敛散性
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \frac{a}{1+a^{n}} \quad(a>0)$ ；
（2） $\displaystyle \int_{0}^{\frac{1}{c}} \frac{1}{x^{p} \ln x} \mathrm{~d} x \quad(p>0)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分析级数通项结构，化为交错级数形式
通项为 \(u_n = \frac{(-1)^{n+1}}{n} \cdot \frac{a}{1+a^n}\)，令 \(b_n = \frac{a}{n(1+a^n)}\)，则原级数为 \(\sum (-1)^{n+1} b_n\)，是交错级数。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} b_n, \quad b_n = \frac{a}{n(1+a^n)}
提示：注意将常数因子 \(a\) 分离出来，便于后续分析单调性。
步骤 2/8
目标：讨论参数 \(a>1\) 时级数的敛散性
当 \(a>1\) 时，\(a^n \to +\infty\)，则 \(\frac{a}{1+a^n} \sim \frac{a}{a^n} = a^{1-n}\)，于是 \(b_n \sim \frac{a^{1-n}}{n}\)。\(b_n\) 指数衰减且单调递减趋于0，由莱布尼茨判别法知级数收敛。绝对值级数 \(\sum \frac{a}{n(1+a^n)} \le a \sum \frac{1}{n a^n}\)，而 \(\sum \frac{1}{n a^n}\) 当 \(a>1\) 时收敛（比值判别法），故级数绝对收敛。
公式：b_n \sim \frac{a^{1-n}}{n}, \quad \sum \frac{1}{n a^n} \text{ 收敛}
提示：指数衰减主导，单调性易证，注意绝对值级数的比较判别法。
步骤 3/8
目标：讨论参数 \(a=1\) 时级数的敛散性
当 \(a=1\) 时，\(\frac{a}{1+a^n} = \frac{1}{2}\)，级数化为 \(\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}\)，即交错调和级数乘以常数。交错调和级数收敛（莱布尼茨判别法），但绝对值级数 \(\frac{1}{2} \sum \frac{1}{n}\) 发散，故条件收敛。
公式：\frac{1}{2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n}
提示：直接代入 \(a=1\) 简化，注意区分条件收敛与绝对收敛。
步骤 4/8
目标：讨论参数 \(0
当 \(0
公式：b_n \sim \frac{a}{n}, \quad \frac{b_{n+1}}{b_n} \approx 1 - \frac{1}{n+1} + a^n(1-a)
提示：单调性需细致分析，利用近似展开判断 \(b_{n+1}/b_n < 1\)。
步骤 5/8
目标：总结第一题结论
综合以上讨论：当 \(a>1\) 时，级数绝对收敛；当 \(0
公式：\text{绝对收敛：} a>1; \quad \text{条件收敛：} 0
提示：注意 \(a=1\) 属于条件收敛，不要遗漏。
步骤 6/8
目标：分析第二题积分在 \(x\to 0^+\) 处的瑕点行为
积分 \(\int_0^{1/c} \frac{1}{x^p \ln x} dx\)，假设 \(c>1\) 使上限小于1，则瑕点为 \(x=0\)。当 \(x\to 0^+\) 时，\(\ln x < 0\)，考虑绝对值 \(\frac{1}{x^p |\ln x|}\)。由于 \(|\ln x|\) 的增长速度慢于任何幂函数，可积性临界点为 \(p=1\)。
公式：\int_0^{\delta} \frac{1}{x^p |\ln x|} dx \text{ 的敛散性等价于 } \int_0^{\delta} \frac{1}{x^p} dx
提示：注意 \(\ln x\) 为负，但敛散性由绝对值决定。
步骤 7/8
目标：用比较法严格判断 \(p<1\) 和 \(p>1\) 时的敛散性
取 \(0<\varepsilon<\min(p,1)\)。当 \(p>1\) 时，对充分小 \(x\) 有 \(|\ln x| < x^{-\varepsilon}\)，则 \(\frac{1}{x^p |\ln x|} > \frac{1}{x^{p-\varepsilon}}\)，右边发散（因 \(p-\varepsilon>1\)），故原积分发散。当 \(p<1\) 时，对充分小 \(x\) 有 \(|\ln x| > x^{\varepsilon}\)，则 \(\frac{1}{x^p |\ln x|} < \frac{1}{x^{p+\varepsilon}}\)，右边收敛（因 \(p+\varepsilon<1\)），故原积分收敛。
公式：p>1: \frac{1}{x^p |\ln x|} > \frac{1}{x^{p-\varepsilon}}; \quad p<1: \frac{1}{x^p |\ln x|} < \frac{1}{x^{p+\varepsilon}}
提示：选取合适的 \(\varepsilon\) 是关键，确保不等式方向正确。
步骤 8/8
目标：讨论边界情况 \(p=1\) 的敛散性
当 \(p=1\) 时，积分为 \(\int_0^{1/c} \frac{1}{x |\ln x|} dx\)。令 \(t = -\ln x\)，则 \(x = e^{-t}\)，\(dx = -e^{-t} dt\)，积分限：\(x\to 0^+\) 对应 \(t\to +\infty\)，\(x=1/c\) 对应 \(t = \ln c\)。积分化为 \(\int_{\ln c}^{+\infty} \frac{1}{t} dt\)，发散。故 \(p=1\) 时积分发散。
公式：\int_0^{1/c} \frac{1}{x |\ln x|} dx = \int_{\ln c}^{+\infty} \frac{1}{t} dt \text{ 发散}
提示：换元后化为调和积分，注意积分限的变化。
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