华南师范大学 2026年数学分析第0题
📝 题目
四、解答题（每题 10 分，共 40 分）
1 ．求 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^{n}}$ 的和；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别级数形式，联想已知幂级数展开
观察到所求级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^{n}}$，其通项为 $\frac{x^n}{n}$ 在 $x = \frac{1}{2}$ 时的形式。回忆自然对数的幂级数展开：对于 $|x| < 1$，有 $-\ln(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$。
公式：-\ln(1-x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}, \quad |x| < 1
提示：注意展开式的起始项为 $n=1$，且 $x$ 的绝对值必须小于1。
步骤 2/4
目标：代入特定值 x = 1/2
令 $x = \frac{1}{2}$，则 $|x| = \frac{1}{2} < 1$，满足收敛条件。代入展开式得：
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(1/2)^n}{n} = -\ln\left(1 - \frac{1}{2}\right)$$
公式：\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^{n}} = -\ln\left(1 - \frac{1}{2}\right)
提示：代入时注意将 $x^n$ 写成 $(1/2)^n$，并保持分母 $n$ 不变。
步骤 3/4
目标：计算对数值
计算括号内的值：$1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$，因此
$$-\ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{-1}\right) = \ln 2$$
公式：-\ln\left(\frac{1}{2}\right) = \ln 2
提示：注意负号与对数性质：$-\ln(a) = \ln(a^{-1})$，避免符号错误。
步骤 4/4
目标：验证收敛性并给出最终答案
使用比值判别法：$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{n \cdot 2^{n}}{(n+1) \cdot 2^{n+1}} = \frac{1}{2} < 1$，故级数绝对收敛，求和合法。因此原级数的和为 $\ln 2$。
公式：\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^{n}} = \ln 2
提示：收敛性验证可确保代入展开式的合法性，避免发散级数误用公式。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，所求级数的和为 $\ln 2$。
\[
\boxed{\ln 2}
\]
公式：\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^n} = \ln 2
提示：最终结果是一个简洁的对数形式，无需进一步近似。
步骤 6/6
目标：得出结果
因此，$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot 2^n} = \ln 2$。
提示：最终结果是一个简洁的对数形式。
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