华南理工大学 2024年数学分析第4题
📝 题目
4．（13 分）将方程 $\displaystyle \frac{\partial^{2} z}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} z}{\partial y^{2}}=0$ 变换为极坐标形式．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：建立极坐标与直角坐标的变换关系
极坐标变换公式为：
\[
x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta
\]
其中 \( r = \sqrt{x^2 + y^2} \), \(\theta = \arctan(y/x)\)。
公式：x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta
提示：注意 \(r \geq 0\)，\(\theta\) 的取值范围通常取 \([0, 2\pi)\) 或 \((-\pi, \pi]\)。
步骤 2/7
目标：计算一阶偏导数的中间变量
由 \( r^2 = x^2 + y^2 \) 得：
\[
\frac{\partial r}{\partial x} = \frac{x}{r} = \cos\theta, \quad \frac{\partial r}{\partial y} = \frac{y}{r} = \sin\theta
\]
由 \(\theta = \arctan(y/x)\) 得：
\[
\frac{\partial \theta}{\partial x} = -\frac{y}{x^2+y^2} = -\frac{\sin\theta}{r}, \quad \frac{\partial \theta}{\partial y} = \frac{x}{x^2+y^2} = \frac{\cos\theta}{r}
\]
公式：\frac{\partial r}{\partial x} = \cos\theta, \quad \frac{\partial r}{\partial y} = \sin\theta, \quad \frac{\partial \theta}{\partial x} = -\frac{\sin\theta}{r}, \quad \frac{\partial \theta}{\partial y} = \frac{\cos\theta}{r}
提示：注意 \(\frac{\partial \theta}{\partial x}\) 的符号，容易出错。
步骤 3/7
目标：求一阶偏导数 \(z_x\) 和 \(z_y\)
由链式法则：
\[
\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial \theta} \frac{\partial \theta}{\partial x} = \cos\theta \, z_r - \frac{\sin\theta}{r} \, z_\theta
\]
\[
\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial r} \frac{\partial r}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial \theta} \frac{\partial \theta}{\partial y} = \sin\theta \, z_r + \frac{\cos\theta}{r} \, z_\theta
\]
公式：z_x = \cos\theta \, z_r - \frac{\sin\theta}{r} \, z_\theta, \quad z_y = \sin\theta \, z_r + \frac{\cos\theta}{r} \, z_\theta
提示：记 \(z_r = \frac{\partial z}{\partial r}\)，\(z_\theta = \frac{\partial z}{\partial \theta}\)。
步骤 4/7
目标：求二阶偏导数 \(z_{xx}\)
将 \(z_x\) 视为 \(r,\theta\) 的函数，再次对 \(x\) 求偏导，使用算子 \(\frac{\partial}{\partial x} = \cos\theta \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin\theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta}\)：
\[
z_{xx} = \left( \cos\theta \frac{\partial}{\partial r} - \frac{\sin\theta}{r} \frac{\partial}{\partial \theta} \right) \left( \cos\theta \, z_r - \frac{\sin\theta}{r} \, z_\theta \right)
\]
展开并整理得：
\[
z_{xx} = \cos^2\theta \, z_{rr} + \frac{\sin^2\theta}{r} \, z_r - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r} \, z_{r\theta} + \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r^2} \, z_\theta + \frac{\sin^2\theta}{r^2} \, z_{\theta\theta}
\]
公式：z_{xx} = \cos^2\theta \, z_{rr} + \frac{\sin^2\theta}{r} \, z_r - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r} \, z_{r\theta} + \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r^2} \, z_\theta + \frac{\sin^2\theta}{r^2} \, z_{\theta\theta}
提示：展开时注意每一项的系数和符号，尤其是 \(z_{r\theta}\) 和 \(z_\theta\) 项。
步骤 5/7
目标：求二阶偏导数 \(z_{yy}\)
由对称性，将 \(z_{xx}\) 中的 \(\sin\theta\) 与 \(\cos\theta\) 互换，并注意 \(y\) 的算子为 \(\sin\theta \partial_r + \frac{\cos\theta}{r} \partial_\theta\)，可得：
\[
z_{yy} = \sin^2\theta \, z_{rr} + \frac{\cos^2\theta}{r} \, z_r + \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r} \, z_{r\theta} - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r^2} \, z_\theta + \frac{\cos^2\theta}{r^2} \, z_{\theta\theta}
\]
公式：z_{yy} = \sin^2\theta \, z_{rr} + \frac{\cos^2\theta}{r} \, z_r + \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r} \, z_{r\theta} - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r^2} \, z_\theta + \frac{\cos^2\theta}{r^2} \, z_{\theta\theta}
提示：注意 \(z_{r\theta}\) 和 \(z_\theta\) 项的符号与 \(z_{xx}\) 相反。
步骤 6/7
目标：将 \(z_{xx}\) 和 \(z_{yy}\) 相加并化简
将 \(z_{xx}\) 和 \(z_{yy}\) 相加：
\[
z_{xx} + z_{yy} = (\cos^2\theta + \sin^2\theta) z_{rr} + \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{r} z_r + \left( -\frac{2\sin\theta\cos\theta}{r} + \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r} \right) z_{r\theta} + \left( \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r^2} - \frac{2\sin\theta\cos\theta}{r^2} \right) z_\theta + \frac{\sin^2\theta + \cos^2\theta}{r^2} z_{\theta\theta}
\]
利用 \(\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1\)，得：
\[
z_{xx} + z_{yy} = z_{rr} + \frac{1}{r} z_r + \frac{1}{r^2} z_{\theta\theta}
\]
公式：z_{xx} + z_{yy} = z_{rr} + \frac{1}{r} z_r + \frac{1}{r^2} z_{\theta\theta}
提示：交叉项 \(z_{r\theta}\) 和 \(z_\theta\) 恰好抵消，这是拉普拉斯方程在极坐标下的标准形式。
步骤 7/7
目标：写出极坐标下的拉普拉斯方程
原方程 \(z_{xx} + z_{yy} = 0\) 在极坐标下化为：
\[
z_{rr} + \frac{1}{r} z_r + \frac{1}{r^2} z_{\theta\theta} = 0
\]
这就是拉普拉斯方程的极坐标形式。
公式：\frac{\partial^2 z}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial z}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 z}{\partial \theta^2} = 0
提示：注意 \(r \neq 0\)，否则方程奇异。
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