华南理工大学 2024年数学分析第5题
📝 题目
5．（14 分）计算曲线积分 $\displaystyle \int_{L} y \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} y+x \mathrm{~d} z$ ，其中 $L$ 是曲线
$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1, \frac{x}{a}+\frac{z}{c}=1, x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0, a>0, b>0, c>0 \text { 常数 }
$$
从点 $\displaystyle (a, 0,0)$ 到 $\displaystyle (0,0, c)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析曲线形状并消去变量
由平面方程 \(\frac{x}{a}+\frac{z}{c}=1\) 得 \(z = c\left(1-\frac{x}{a}\right)\)。代入椭球方程 \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1\)，化简得到 \(\frac{2x^{2}}{a^{2}}-\frac{2x}{a}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=0\)。整理后得 \(\left(x-\frac{a}{2}\right)^{2}+\frac{a^{2}y^{2}}{2b^{2}}=\frac{a^{2}}{4}\)，即 \(\frac{(x-a/2)^{2}}{(a/2)^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}/2}=1\)，这是 \(xOy\) 平面上的椭圆，中心 \((a/2,0)\)，半轴长 \(a/2\) 和 \(b/\sqrt{2}\)。
公式：\frac{(x-a/2)^{2}}{(a/2)^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}/2}=1
提示：注意消去 \(z\) 时，椭球方程中的 \(z^{2}/c^{2}\) 项直接化为 \((1-x/a)^{2}\)，避免复杂计算。
步骤 2/7
目标：选取参数化形式
令参数 \(t\)，取 \(x = \frac{a}{2} + \frac{a}{2}\cos t\)，\(y = \frac{b}{\sqrt{2}} \sin t\)。由起点 \((a,0,0)\) 得 \(t=0\)，终点 \((0,0,c)\) 得 \(t=\pi\)。代入平面方程得 \(z = \frac{c}{2}(1-\cos t)\)。因此参数曲线为：
\[
\begin{cases}
x(t) = \frac{a}{2}(1+\cos t),\\
y(t) = \frac{b}{\sqrt{2}}\sin t,\\
z(t) = \frac{c}{2}(1-\cos t),
\end{cases}
\quad t: 0\to\pi.
\]
公式：x(t)=\frac{a}{2}(1+\cos t),\ y(t)=\frac{b}{\sqrt{2}}\sin t,\ z(t)=\frac{c}{2}(1-\cos t)
提示：参数 \(t\) 的范围由起点和终点确定，注意 \(y\ge0\) 对应 \(\sin t\ge0\)，故 \(t\in[0,\pi]\)。
步骤 3/7
目标：计算微分并代入被积表达式
求微分：\(dx = -\frac{a}{2}\sin t\, dt\)，\(dy = \frac{b}{\sqrt{2}}\cos t\, dt\)，\(dz = \frac{c}{2}\sin t\, dt\)。代入被积式 \(y\,dx + z\,dy + x\,dz\)：
- \(y\,dx = \frac{b}{\sqrt{2}}\sin t \cdot \left(-\frac{a}{2}\sin t\, dt\right) = -\frac{ab}{2\sqrt{2}} \sin^{2} t\, dt\)，
- \(z\,dy = \frac{c}{2}(1-\cos t) \cdot \frac{b}{\sqrt{2}}\cos t\, dt = \frac{bc}{2\sqrt{2}} (\cos t - \cos^{2} t)\, dt\)，
- \(x\,dz = \frac{a}{2}(1+\cos t) \cdot \frac{c}{2}\sin t\, dt = \frac{ac}{4}(1+\cos t)\sin t\, dt\)。
公式：y\,dx+z\,dy+x\,dz = \left[-\frac{ab}{2\sqrt{2}}\sin^{2}t + \frac{bc}{2\sqrt{2}}(\cos t-\cos^{2}t) + \frac{ac}{4}(1+\cos t)\sin t\right] dt
提示：注意微分计算中系数不要遗漏，特别是 \(x\,dz\) 项中 \(\frac{a}{2}\) 与 \(\frac{c}{2}\) 相乘得 \(\frac{ac}{4}\)。
步骤 4/7
目标：合并并化简被积函数
合并前两项含 \(\frac{1}{2\sqrt{2}}\) 的项：
\[
-\frac{ab}{2\sqrt{2}}\sin^{2}t + \frac{bc}{2\sqrt{2}}(\cos t-\cos^{2}t) = \frac{1}{2\sqrt{2}}\left[-ab\sin^{2}t + bc\cos t - bc\cos^{2}t\right].
\]
利用 \(\sin^{2}t = 1-\cos^{2}t\) 化简括号内：
\[
-ab(1-\cos^{2}t) + bc\cos t - bc\cos^{2}t = -ab + bc\cos t + (ab-bc)\cos^{2}t = -ab + bc\cos t + b(a-c)\cos^{2}t.
\]
因此被积函数为：
\[
I(t) = \frac{1}{2\sqrt{2}}\left(-ab + bc\cos t + b(a-c)\cos^{2}t\right) + \frac{ac}{4}(1+\cos t)\sin t.
\]
公式：I(t) = \frac{1}{2\sqrt{2}}\left(-ab + bc\cos t + b(a-c)\cos^{2}t\right) + \frac{ac}{4}(1+\cos t)\sin t
提示：合并时注意 \(\sin^{2}t\) 与 \(\cos^{2}t\) 的转换，避免符号错误。
步骤 5/7
目标：积分计算：含 \(\sin t\) 的项
计算 \(\frac{ac}{4}\int_{0}^{\pi} (1+\cos t)\sin t\, dt\)。令 \(u=1+\cos t\)，则 \(du=-\sin t\, dt\)，积分限 \(t=0\) 时 \(u=2\)，\(t=\pi\) 时 \(u=0\)。积分化为：
\[
\frac{ac}{4} \int_{2}^{0} u (-du) = \frac{ac}{4} \int_{0}^{2} u\, du = \frac{ac}{4} \cdot \left[\frac{u^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = \frac{ac}{4} \cdot 2 = \frac{ac}{2}.
\]
公式：\int_{0}^{\pi} (1+\cos t)\sin t\, dt = 2
提示：换元时注意积分限的变化，负号处理要仔细。
步骤 6/7
目标：积分计算：含 \(\cos t\) 和 \(\cos^{2}t\) 的项
计算 \(\frac{1}{2\sqrt{2}} \int_{0}^{\pi} \left(-ab + bc\cos t + b(a-c)\cos^{2}t\right) dt\)。逐项积分：
- \(\int_{0}^{\pi} -ab\, dt = -ab\pi\)，
- \(\int_{0}^{\pi} bc\cos t\, dt = bc[\sin t]_{0}^{\pi} = 0\)，
- \(\int_{0}^{\pi} b(a-c)\cos^{2}t\, dt = b(a-c) \int_{0}^{\pi} \frac{1+\cos 2t}{2} dt = \frac{b(a-c)}{2} \left[t + \frac{\sin 2t}{2}\right]_{0}^{\pi} = \frac{b(a-c)\pi}{2}\)。
因此积分值为：
\[
\frac{1}{2\sqrt{2}} \left(-ab\pi + 0 + \frac{b(a-c)\pi}{2}\right) = \frac{b\pi}{2\sqrt{2}} \left(-a + \frac{a-c}{2}\right) = \frac{b\pi}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{-2a + a - c}{2} = -\frac{b\pi(a+c)}{4\sqrt{2}}.
\]
公式：\int_{0}^{\pi} \cos^{2}t\, dt = \frac{\pi}{2}
提示：注意 \(\cos^{2}t\) 的积分要用倍角公式，避免直接积分出错。
步骤 7/7
目标：合并结果得到最终积分值
将两部分积分相加：
\[
\int_{L} y\,dx + z\,dy + x\,dz = \frac{ac}{2} - \frac{b\pi(a+c)}{4\sqrt{2}}.
\]
公式：\int_{L} y\,dx+z\,dy+x\,dz = \frac{ac}{2} - \frac{b\pi(a+c)}{4\sqrt{2}}
提示：最终结果需检查是否与起点终点对应，注意常数 \(a,b,c\) 均为正数。
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