南京信息工程大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
1．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-(1+2 x)^{\frac{1}{2}}}{\ln \left(1+x^{2}\right)}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析极限类型，确定展开阶数
当 $x \to 0$ 时，分母 $\ln(1+x^2) \sim x^2$，是二阶无穷小。因此分子 $e^x - (1+2x)^{1/2}$ 也需要展开到至少二阶，以比较无穷小的阶数。
公式：\ln(1+x^2) \sim x^2 \quad (x \to 0)
提示：注意分母的等价无穷小替换仅在乘除因子中直接使用，此处用于判断阶数，但求极限时需保留足够高阶项。
步骤 2/6
目标：展开指数函数 $e^x$
利用泰勒展开：$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)$。
公式：e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)
提示：展开到 $x^3$ 项，因为分子相减后 $x$ 和 $x^2$ 项可能抵消，需要更高阶项确定主部。
步骤 3/6
目标：展开 $(1+2x)^{1/2}$
使用二项式展开：$(1+u)^{\alpha} = 1 + \alpha u + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2!} u^2 + \frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!} u^3 + O(u^4)$，其中 $u=2x$，$\alpha=\frac12$。计算各项：一次项 $\frac12 \cdot 2x = x$；二次项 $\frac{\frac12(-\frac12)}{2} \cdot (2x)^2 = -\frac18 \cdot 4x^2 = -\frac12 x^2$；三次项 $\frac{\frac12(-\frac12)(-\frac32)}{6} \cdot (2x)^3 = \frac{3}{48} \cdot 8x^3 = \frac12 x^3$。因此 $(1+2x)^{1/2} = 1 + x - \frac12 x^2 + \frac12 x^3 + O(x^4)$。
公式：(1+2x)^{1/2} = 1 + x - \frac12 x^2 + \frac12 x^3 + O(x^4)
提示：注意二项式展开中系数计算要仔细，尤其是符号和阶乘。
步骤 4/6
目标：计算分子 $e^x - (1+2x)^{1/2}$
将两个展开式相减：$(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + O(x^4)) - (1 + x - \frac12 x^2 + \frac12 x^3 + O(x^4))$。常数项和一次项抵消；二次项：$\frac12 x^2 - (-\frac12 x^2) = x^2$；三次项：$\frac16 x^3 - \frac12 x^3 = -\frac13 x^3$。所以分子 $= x^2 - \frac13 x^3 + O(x^4)$。
公式：e^x - (1+2x)^{1/2} = x^2 - \frac13 x^3 + O(x^4)
提示：相减时注意符号，特别是二次项负负得正。
步骤 5/6
目标：展开分母 $\ln(1+x^2)$
利用 $\ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + O(t^3)$，令 $t = x^2$，得 $\ln(1+x^2) = x^2 - \frac{x^4}{2} + O(x^6)$。
公式：\ln(1+x^2) = x^2 - \frac{x^4}{2} + O(x^6)
提示：分母只需展开到 $x^2$ 项即可，因为分子主部也是 $x^2$。
步骤 6/6
目标：求极限
将分子和分母的展开式代入极限：$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 - \frac13 x^3 + O(x^4)}{x^2 - \frac12 x^4 + O(x^6)}$。分子分母同除以 $x^2$（$x \neq 0$），得 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac13 x + O(x^2)}{1 - \frac12 x^2 + O(x^4)} = \frac{1 - 0}{1 - 0} = 1$。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac13 x + O(x^2)}{1 - \frac12 x^2 + O(x^4)} = 1
提示：当 $x \to 0$ 时，高阶项 $O(x^2)$ 和 $O(x^4)$ 都趋于0，因此极限为1。
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