南京信息工程大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
2．求不定积分 $\int \sqrt{1-x^{2}} d x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：进行三角代换，简化被积函数
由于被积函数含有 $\sqrt{1-x^2}$，联想到三角恒等式 $1-\sin^2\theta = \cos^2\theta$，因此令 $x = \sin\theta$，其中 $\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$，以保证 $\cos\theta \ge 0$。则 $dx = \cos\theta \, d\theta$，且 $\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2\theta} = \sqrt{\cos^2\theta} = \cos\theta$。原积分化为 $\int \cos\theta \cdot \cos\theta \, d\theta = \int \cos^2\theta \, d\theta$。
公式：$x = \sin\theta$, $dx = \cos\theta \, d\theta$, $\sqrt{1-x^2} = \cos\theta$
提示：注意三角代换后开方需考虑符号，这里选取 $\theta$ 的范围使得 $\cos\theta \ge 0$，避免绝对值处理。
步骤 2/5
目标：利用倍角公式化简 $\cos^2\theta$ 的积分
使用倍角公式 $\cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$，则 $\int \cos^2\theta \, d\theta = \int \frac{1+\cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{1}{2} \int 1 \, d\theta + \frac{1}{2} \int \cos 2\theta \, d\theta$。
公式：$\cos^2\theta = \frac{1+\cos 2\theta}{2}$
提示：倍角公式是处理 $\cos^2\theta$ 和 $\sin^2\theta$ 积分的标准方法，需熟练掌握。
步骤 3/5
目标：计算化简后的积分
计算得 $\frac{1}{2} \int 1 \, d\theta = \frac{1}{2}\theta$，$\frac{1}{2} \int \cos 2\theta \, d\theta = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin 2\theta}{2} = \frac{\sin 2\theta}{4}$。因此 $\int \cos^2\theta \, d\theta = \frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{4} + C$。
公式：$\int \cos 2\theta \, d\theta = \frac{\sin 2\theta}{2}$
提示：对 $\cos 2\theta$ 积分时，注意系数 $\frac{1}{2}$ 的乘法，不要遗漏。
步骤 4/5
目标：将变量从 $\theta$ 换回 $x$
由 $x = \sin\theta$ 得 $\theta = \arcsin x$。利用二倍角公式 $\sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta = 2x \sqrt{1-x^2}$。代入得 $\frac{\theta}{2} + \frac{\sin 2\theta}{4} = \frac{\arcsin x}{2} + \frac{2x\sqrt{1-x^2}}{4} = \frac{\arcsin x}{2} + \frac{x\sqrt{1-x^2}}{2}$。
公式：$\sin 2\theta = 2\sin\theta \cos\theta$, $\cos\theta = \sqrt{1-x^2}$
提示：换回变量时，注意 $\cos\theta$ 的正负已由区间保证，直接取正根 $\sqrt{1-x^2}$。
步骤 5/5
目标：写出最终不定积分结果
将上一步结果加上积分常数 $C$，得到 $\int \sqrt{1-x^2} \, dx = \frac{1}{2} \arcsin x + \frac{1}{2} x \sqrt{1-x^2} + C$。
公式：$\int \sqrt{1-x^2} \, dx = \frac{1}{2} \arcsin x + \frac{1}{2} x \sqrt{1-x^2} + C$
提示：最终结果应包含任意常数 $C$，这是不定积分的标志。
步骤 6/7
目标：分部积分法（可选）
设 $I = \int \sqrt{1-x^2} \, dx$，令 $u = \sqrt{1-x^2}$，$dv = dx$，则 $du = -\frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$，$v = x$。由分部积分公式：$I = x \sqrt{1-x^2} - \int x \cdot \left(-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right) dx = x \sqrt{1-x^2} + \int \frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx$。
公式：$\int u \, dv = uv - \int v \, du$
提示：注意 $du$ 的符号，不要出错。
步骤 7/7
目标：化简并解出积分
将 $\frac{x^2}{\sqrt{1-x^2}}$ 改写为 $\frac{1-(1-x^2)}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \sqrt{1-x^2}$，则 $I = x \sqrt{1-x^2} + \int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx - \int \sqrt{1-x^2} dx = x \sqrt{1-x^2} + \arcsin x - I$。于是 $2I = x \sqrt{1-x^2} + \arcsin x + C$，所以 $I = \frac{1}{2} \arcsin x + \frac{1}{2} x \sqrt{1-x^2} + C$。
公式：$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin x + C$
提示：注意移项时 $I$ 的系数，不要忘记常数 $C$。
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