南京信息工程大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
3．求函数 $f(x)=\int_{0}^{x} u(\ln u+1) d u$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上的最大值或最小值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求导数，确定单调性
由微积分基本定理，积分上限函数的导数等于被积函数，即
\[ f'(x) = x(\ln x + 1), \quad x > 0. \]
公式：f'(x) = x(\ln x + 1)
提示：注意定义域为 (0, +∞)，导数在 x>0 时才有意义。
步骤 2/5
目标：求驻点
令 f'(x) = 0，得 x(\ln x + 1) = 0。由于 x > 0，故 \ln x + 1 = 0，解得 x = e^{-1} = \frac{1}{e}。
公式：\ln x + 1 = 0 \Rightarrow x = e^{-1}
提示：不要忽略 x>0 的条件，避免误将 x=0 当作驻点。
步骤 3/5
目标：判断极值类型
计算二阶导数：
\[ f''(x) = \frac{d}{dx}[x(\ln x + 1)] = \ln x + 1 + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 2. \]
代入 x = e^{-1}：
\[ f''(e^{-1}) = \ln(e^{-1}) + 2 = -1 + 2 = 1 > 0, \]
故该点为极小值点。
公式：f''(x) = \ln x + 2, \quad f''(e^{-1}) = 1 > 0
提示：二阶导数大于0说明是极小值，小于0是极大值。
步骤 4/5
目标：计算极小值
先求不定积分：
\[ \int u(\ln u + 1) \, du = \int (u \ln u + u) \, du = \frac{u^2}{2}\ln u - \frac{u^2}{4} + \frac{u^2}{2} + C = \frac{u^2}{2}\ln u + \frac{u^2}{4} + C. \]
于是
\[ f(x) = \left[ \frac{u^2}{2}\ln u + \frac{u^2}{4} \right]_{0}^{x} = \frac{x^2}{2}\ln x + \frac{x^2}{4}. \]
代入 x = 1/e：
\[ f\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{1}{2e^2}\ln(e^{-1}) + \frac{1}{4e^2} = -\frac{1}{2e^2} + \frac{1}{4e^2} = -\frac{1}{4e^2}. \]
公式：f(x) = \frac{x^2}{2}\ln x + \frac{x^2}{4}, \quad f\left(\frac{1}{e}\right) = -\frac{1}{4e^2}
提示：计算下限时注意 u→0⁺ 时 u² ln u → 0，代入得0。
步骤 5/5
目标：判断最大值是否存在
考虑端点极限：
当 x → 0⁺ 时，f(x) → 0（因为 x² ln x → 0，x² → 0）；
当 x → +∞ 时，由于 \frac{x^2}{2}\ln x 趋于 +∞，故 f(x) → +∞。
因此函数在 (0, +∞) 上只有极小值（即最小值），无最大值。
公式：\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0, \quad \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty
提示：比较极小值与端点极限，极小值小于0，故为全局最小值。
步骤 6/8
目标：代入上下限
代入上下限：$\left[ \frac{u^2}{2}\ln u + \frac{u^2}{4} \right]_{0}^{e^{-1}} = \left( \frac{(e^{-1})^2}{2}\ln(e^{-1}) + \frac{(e^{-1})^2}{4} \right) - \lim_{u\to 0^+}\left( \frac{u^2}{2}\ln u + \frac{u^2}{4} \right)$。
提示：注意 $u\to 0^+$ 时 $u^2\ln u \to 0$，极限为0。
步骤 7/8
目标：化简结果
计算得：$\frac{1}{2e^2}\cdot(-1) + \frac{1}{4e^2} - 0 = -\frac{1}{2e^2} + \frac{1}{4e^2} = -\frac{1}{4e^2}$。
提示：注意 $\ln(e^{-1}) = -1$。
步骤 8/8
目标：判断最值
由于 $x\to 0^+$ 时，$f(x)\to 0$（被积函数在0附近趋于0），$x\to +\infty$ 时，$f(x)\to +\infty$，故函数无最大值，只有最小值 $f(e^{-1}) = -\frac{1}{4e^2}$。
提示：注意检查端点行为，确保极小值即为最小值。
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