南京信息工程大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
4．求幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1}$ 的收敛域与和函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：调整级数形式，简化表达式
令 $m = n+1$，则当 $n=1$ 时 $m=2$，$n \to \infty$ 时 $m \to \infty$，原级数化为 $\displaystyle \sum_{m=2}^{\infty} \frac{x^m}{m}$。
公式：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1} = \sum_{m=2}^{\infty} \frac{x^m}{m}$
提示：注意下标变换时，起始项要对应准确，避免遗漏或重复。
步骤 2/5
目标：求收敛半径
考虑标准级数 $\displaystyle \sum_{m=1}^{\infty} \frac{x^m}{m}$，其收敛半径 $R=1$（可用比值法 $\lim_{m\to\infty} \left| \frac{a_{m+1}}{a_m} \right| = 1$ 或根值法得到）。原级数仅从 $m=2$ 开始，不影响收敛半径，故收敛半径仍为 $R=1$。
公式：$\lim_{m\to\infty} \left| \frac{a_{m+1}}{a_m} \right| = \lim_{m\to\infty} \frac{m}{m+1} = 1$
提示：收敛半径只与系数有关，与起始项无关，但端点需单独判断。
步骤 3/5
目标：判断端点收敛性，确定收敛域
当 $x=1$ 时，级数为 $\displaystyle \sum_{m=2}^{\infty} \frac{1}{m}$，是调和级数去掉第一项，发散。当 $x=-1$ 时，级数为 $\displaystyle \sum_{m=2}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m}$，由莱布尼茨判别法，通项绝对值递减趋于0，故收敛。因此收敛域为 $[-1, 1)$。
公式：莱布尼茨判别法：$\sum (-1)^m b_m$ 收敛，若 $b_m \downarrow 0$
提示：端点处要分别代入，注意调和级数发散，交错调和级数收敛。
步骤 4/5
目标：利用已知公式求和函数
已知当 $|x|<1$ 时，$\displaystyle \sum_{m=1}^{\infty} \frac{x^m}{m} = -\ln(1-x)$。则 $\displaystyle \sum_{m=2}^{\infty} \frac{x^m}{m} = \left( \sum_{m=1}^{\infty} \frac{x^m}{m} \right) - x = -\ln(1-x) - x$。在 $x=-1$ 处，$\ln(1-(-1)) = \ln 2$ 有意义，故和函数在左端点也适用。
公式：$\displaystyle \sum_{m=1}^{\infty} \frac{x^m}{m} = -\ln(1-x), \quad |x|<1$
提示：注意减去 $m=1$ 的项 $x$，并验证端点处表达式是否收敛。
步骤 5/5
目标：写出最终答案
收敛域为 $[-1, 1)$，和函数为 $S(x) = -x - \ln(1-x)$，$x \in [-1, 1)$。
公式：$S(x) = -x - \ln(1-x)$
提示：和函数表达式在收敛域内有效，端点 $x=-1$ 代入计算得 $S(-1) = 1 - \ln 2$。
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