南京信息工程大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
5．求曲面 $z=x^{2}+2 y^{2}$ 在点 $(2,-1,6)$ 处的切平面及法线方程．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将曲面方程化为隐函数形式
给定曲面方程为 $z = x^2 + 2y^2$，将其改写为隐函数形式 $F(x, y, z) = 0$，即令 $F(x, y, z) = x^2 + 2y^2 - z = 0$。
公式：$F(x, y, z) = x^2 + 2y^2 - z = 0$
提示：隐函数形式是求切平面和法线的标准起点，注意将 $z$ 项移到等号左侧并添加负号。
步骤 2/4
目标：计算梯度向量（法向量）
梯度向量 $\nabla F = \left( \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z} \right)$。分别求偏导：$\frac{\partial F}{\partial x} = 2x$，$\frac{\partial F}{\partial y} = 4y$，$\frac{\partial F}{\partial z} = -1$。在点 $(2, -1, 6)$ 处代入得 $\nabla F(2, -1, 6) = (4, -4, -1)$。
公式：$\nabla F = (2x, 4y, -1)$，在点 $(2,-1,6)$ 处为 $(4, -4, -1)$
提示：梯度向量即为曲面的法向量，注意偏导计算时 $y^2$ 的系数是2，导数为 $4y$。
步骤 3/4
目标：写出切平面方程
切平面方程公式为 $F_x(x_0,y_0,z_0)(x-x_0) + F_y(x_0,y_0,z_0)(y-y_0) + F_z(x_0,y_0,z_0)(z-z_0) = 0$。代入 $F_x=4$，$F_y=-4$，$F_z=-1$ 及点 $(2,-1,6)$ 得：$4(x-2) - 4(y+1) - 1(z-6) = 0$。展开并化简：$4x - 8 - 4y - 4 - z + 6 = 0$，即 $4x - 4y - z - 6 = 0$，移项得 $4x - 4y - z = 6$。
公式：$4(x-2) - 4(y+1) - (z-6) = 0$ 化简为 $4x - 4y - z = 6$
提示：注意符号：$y - (-1)$ 写成 $y+1$，代入后要仔细合并常数项。
步骤 4/4
目标：写出法线方程
法线方向为法向量 $(4, -4, -1)$，且过点 $(2, -1, 6)$。法线的对称式方程为 $\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}$，其中 $(a,b,c)$ 为方向向量。代入得 $\frac{x - 2}{4} = \frac{y + 1}{-4} = \frac{z - 6}{-1}$。
公式：$\frac{x - 2}{4} = \frac{y + 1}{-4} = \frac{z - 6}{-1}$
提示：法线方程的分母是法向量的分量，注意 $y$ 坐标的差为 $y - (-1) = y+1$，分母为 $-4$ 不要漏掉负号。
步骤 5/5
目标：写出法线方程
法线方向为法向量 $(4, -4, -1)$，过点 $(2, -1, 6)$，对称式方程为 $\frac{x - 2}{4} = \frac{y + 1}{-4} = \frac{z - 6}{-1}$。
公式：$\frac{x - 2}{4} = \frac{y + 1}{-4} = \frac{z - 6}{-1}$
提示：法线方程的分母是法向量的分量，注意符号不要写反；也可写成参数方程形式。
步骤 6/6
目标：最终答案整理
切平面方程为 $4x - 4y - z - 6 = 0$；法线方程为 $\frac{x-2}{4} = \frac{y+1}{-4} = \frac{z-6}{-1}$。
提示：检查方程是否化简正确，法线方程分母是否为零。
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