南京信息工程大学 2020年数学分析第0题

对于函数 $f(x)$，它的麦克劳林级数展开形式是： $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n$$ 因此，我们需要求出函数在 $x=0$ 处的各阶导数。

已知 $f(x) = (x-1)e^x$，逐次求导： - 一阶导：$f'(x) = e^x + (x-1)e^x = x e^x$ - 二阶导：$f''(x) = e^x + x e^x = (x+1)e^x$ - 三阶导：$f'''(x) = e^x + (x+1)e^x = (x+2)e^x$ 观察规律，推测 $f^{(n)}(x) = (x + n - 1) e^x$，可用数学归纳法验证。

代入 $x=0$ 到通项公式： $$f^{(n)}(0) = (0 + n - 1) e^0 = n - 1$$ 特别地，当 $n=0$ 时，$f^{(0)}(0) = f(0) = (0-1)e^0 = -1$，而公式 $n-1$ 当 $n=0$ 时也为 $-1$，因此统一成立。

将 $f^{(n)}(0) = n-1$ 代入麦克劳林级数公式： $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n-1}{n!} x^n$$ 验证前几项： - $n=0$：系数 $\frac{-1}{0!} = -1$，对应常数项 $-1$ - $n=1$：系数 $\frac{0}{1!} = 0$，故无 $x$ 的一次项 - $n \ge 2$：系数为 $\frac{n-1}{n!}$

可以将级数拆分为两个级数： $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n-1}{n!} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{n!} x^n - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^n$$ 其中 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n}{n!} x^n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{(n-1)!}$，而 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^n = e^x$，因此也可写作： $$f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{(n-1)!} - e^x$$ 但通常保留为 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n-1}{n!} x^n$ 即可。

由于 $e^x$ 的麦克劳林级数对一切实数 $x$ 收敛，且 $(x-1)e^x$ 是 $e^x$ 与多项式的乘积，因此展开式也在全体实数上收敛。最终答案为： $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n-1}{n!} x^{n},\quad x \in (-\infty, +\infty)$$

因此， $$f(x) = -1 + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n-1}{n!} x^n.$$ 也可以写成统一形式： $$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n-1}{n!} x^n,$$ 其中当 $n=0$ 时，$\frac{-1}{0!} = -1$，与上式一致。