南京信息工程大学 2020年数学分析第0题
📝 题目
四、（本题满分 15 分）证明无穷积分 $\displaystyle J=\int_{1}^{+\infty} \frac{\sin x}{\sqrt[3]{x}} d x$ 条件收敛。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：明确条件收敛的定义
条件收敛要求：原积分收敛，但绝对值积分发散。因此需要分别证明这两点。
提示：注意区分条件收敛与绝对收敛，两者缺一不可。
步骤 2/4
目标：证明原积分收敛（使用Dirichlet判别法）
令 $f(x)=\sin x$，$g(x)=\frac{1}{x^{1/3}}$。则 $\int_1^X \sin x\,dx = -\cos X + \cos 1$，其绝对值不超过 $2$，有界；$g(x)=x^{-1/3}$ 在 $[1,+\infty)$ 上单调递减且趋于 $0$。由Dirichlet判别法，积分 $\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{x^{1/3}}\,dx$ 收敛。
公式：Dirichlet判别法：若 $\int_a^X f(x)\,dx$ 有界，$g(x)$ 单调趋于 $0$，则 $\int_a^{+\infty} f(x)g(x)\,dx$ 收敛。
提示：确保 $g(x)$ 单调性，这里 $x^{-1/3}$ 在 $[1,+\infty)$ 上严格递减。
步骤 3/4
目标：证明绝对值积分发散（使用比较判别法）
考虑 $\int_1^{+\infty} \frac{|\sin x|}{x^{1/3}}\,dx$。在每个区间 $[k\pi, (k+1)\pi]$（$k=1,2,\ldots$）上，$|\sin x|$ 的积分为 $2$，且分母 $x^{1/3} \leq ((k+1)\pi)^{1/3}$，因此
\[
\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} \frac{|\sin x|}{x^{1/3}}\,dx \geq \frac{2}{((k+1)\pi)^{1/3}}.
\]
于是
\[
\int_1^{+\infty} \frac{|\sin x|}{x^{1/3}}\,dx \geq \sum_{k=1}^\infty \frac{2}{((k+1)\pi)^{1/3}} = \frac{2}{\pi^{1/3}} \sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k^{1/3}}.
\]
而 $\sum_{k=2}^\infty \frac{1}{k^{1/3}}$ 是 $p=1/3<1$ 的发散 $p$-级数，故绝对值积分发散。
公式：$\int_{k\pi}^{(k+1)\pi} |\sin x|\,dx = 2$，$p$-级数 $\sum \frac{1}{k^p}$ 当 $p\leq 1$ 时发散。
提示：注意分母放缩方向：要得到下界，分母应取区间上的最大值（即右端点），因为分母越大，分数值越小，但我们需要下界，所以用最大值得到更小的分数，从而不等式方向正确。
步骤 4/4
目标：得出结论
原积分 $\int_1^{+\infty} \frac{\sin x}{\sqrt[3]{x}}\,dx$ 收敛，但绝对值积分发散，因此该无穷积分条件收敛。
提示：最终结论需明确写出“条件收敛”。
步骤 5/6
目标：得出非绝对收敛的结论
由于 $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x}} dx$ 发散，而 $\int_{1}^{+\infty} \frac{\cos 2x}{\sqrt[3]{x}} dx$ 收敛，因此 $\frac{1}{2} \left( \int_{1}^{+\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{x}} dx - \int_{1}^{+\infty} \frac{\cos 2x}{\sqrt[3]{x}} dx \right)$ 发散（发散减收敛仍发散）。由比较判别法，$\int_{1}^{+\infty} \frac{|\sin x|}{\sqrt[3]{x}} dx$ 发散。
公式：若 $f(x) \geq g(x) \geq 0$ 且 $\int g$ 发散，则 $\int f$ 发散。
提示：注意发散减收敛的结果是发散，但需严谨说明。
步骤 6/6
目标：总结条件收敛
由第一步知 $J$ 收敛，由第二步知 $J$ 不绝对收敛，故 $J$ 条件收敛。
提示：条件收敛的结论需同时满足收敛和非绝对收敛。
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